Похідна та її застосування

Теорема. Якщо функції мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), причому для любого х є (a; b), то

для любого х є (a; b).

Доведення. Позначимо тимчасово через знайдемо використовуючи визначення похідної.

Нехай х0 – деяка точка інтервалу (a; b).

Тоді,

Так як х0 – вільна точка інтервалу (a; b), то в останній формулі х0 можна замінити на х. Теорема доведена.

2.2. Дослідження функції та побудова графіка

Загально відомою є схема дослідження функції для побудови графіка:

1)знайти область визначення функції та множину її значень;

2)дослідити функцію на парність та непарність, періодичність;

3)знайти точки перетину графіка функції з осями системи координат, точки розриву, проміжки знакосталості функції;

4)дослідити поводження функції біля точок розриву та на нескінченності, знайти якщо вони є, асимптоти графіка;

5)знайти нулі та точки розриву похідної, інтервали монотонності функції, точки екстремуму та екстремальні значення функції;

6)знайти нулі та точки розриву другої похідної, інтервали опуклості графіка функції, точки перегину та значення функції в цих точках;

7)для побудови графіка необхідно знайти достатню кількість контрольних точок, через які він проходить.

Зауважу, що на практиці не завжди є потреба досліджувати функцію за наведеною схемою і в такій саме послідовності.

Так, наприклад, множину значень деяких функцій можна встановити лише після знаходження екстремальних значень функції та її поводження біля точок розриву і на нескінченності.

Можна спочатку знайти нулі функції. Якщо вони розташовані не симетрично відносно нуля, то функція не може бути ні непарною, ні парною, ні періодичною. Такий же висновок можна зробити у випадку, коли функція має область визначення не симетричну відносно нуля, то, зрозуміло, що з такого факту ми не можемо робити висновок про парність або непарність. Проте, якщо нулі функції симетричні відносно нуля, але їх число скінчене, то вона не є періодичною.

Не може бути функція ні парною, ні непарною, ні періодичною, якщо нулі першої або другої похідних розміщені несиметрично відносно нуля.

Аналогічно можна зробити висновок і з несиметричного розміщення точок розриву.

Для складних функцій можна керуватися такими простими твердженнями:

1.якщо функція парна, то складна функція також парна;

2.якщо функція і непарні, то складна функція непарна;