Похідна та її застосування

Якщо для х<х0 , а для х0
Якщо для х<х0 , а для х0
Теорема 3.Нехай функція два рази диференційована в околі точки х0 і . Тоді в точці х=х0 функція має локальний максимум, якщо , і локальний мінімум, якщо .

Якщо ж , то точка х=х0 може й не бути точкою екстремуму.

Звідси випливає такий план знаходження екстремальних точок:

1.знаходять критичні точки функції , тобто точки , в яких , або не існує;

2.знаходять другу похідну і обчислюють значення другої похідної в цих точках.

Якщо значення другої похідної в критичній точці від’ємне, то така точка є точкою максимуму, а якщо значення другої похідної додатне, то точка є точкою мінімуму.

Якщо в критичній точці, то нічого конкретного сказати не можна, бо в цій точці може бути екстремум, а може й не бути.

Розглянемо тепер дослідження функції на екстремум на конкретних прикладах.

Приклад 1. Дослідити на екстремум функцію

Розв’язання. Функція визначена і диференційована на R. Знайдемо її похідну:

Знайдемо нулі похідної:

х2+х-2=0, х1=-2 х2=1.

Отже, функція f має дві критичні точки х1=-2,х2=1.

Оскільки похідна є квадратним тричленом з додатним коефіцієнтом при х2, то на інтервалах , а на інтервалі (-2;1) .

Похідна неперервна на R і при переході через критичну точку змінює знак на протилежний.

Оскільки при переході через критичну точку х=-2 похідна змінює знак з плюса на мінус, то в цій точці функція має локальний максимум.

При переході через точку х=1 похідна змінює знак з мінуса на плюс. Тому в цій точці функція f має локальний мінімум.

Приклад 2.Дослідити на екстремум функцію

Розв’язання. Функція визначена. Знайдемо її похідну:

Критична точка х=9. при переході через цю точку похідна змінює знак з мінуса на плюс. Отже, в цій точці функція f має локальний мінімум:

Крім того, похідна дорівнює нулю в точці х=0. оскільки справа від цієї точки(до х<6) функція не визначена, то в точці х=0 функція набуває найменшого значення .

Приклад 3.Дослідити на екстремум функцію