Похідна та її застосування

Для того щоб дана функція мала три різні нулі, необхідно, щоб її похідна

мала два різних нулі. А це буде тоді, коли Звідси

Отже, похідна має один додатний і один від’ємний корінь. Тоді функція має обов’язково один від’ємний корінь. А це можливо за умови, що . Отже,

Приклад 2.Скільки дійсних коренів має рівняння

Розв’язання. Розглянемо функцію

Знайдемо її похідну

Нехай

а) х<0, тоді очевидно, >0;

б) х=0, тоді ;

в) x>0, тоді знову ж таки >0.

Отже, похідна всюди додатна, за винятком однієї ізольованої точки х=0. це означає, що функція f зростає на всій числовій осі. Тому дане рівняння не може мати більше одного кореня. Оскільки то нуль і є тим єдиним коренем.

Приклад 3.Розв’язати рівняння

Тривіальним коренем рівняння є х=0. доведемо, що інших коренів рівняння не має. Розглянемо функцію

Знайдемо її похідну для будь-якого .

Отже, функція зростає на всій числовій осі. Тому рівняння не має більше коренів.

Приклад 4.Розв’язати рівняння

Розглянемо функцію.

Вона диференційована на всій області визначення. Знайдемо її похідну

А це означає, що рівняння має лише один корінь (найвищий показник степеня непарний). Тривіальним коренем є х=1.

Відповідь: 1.

2.4. Текстові задачі на екстремум

Приклад 1.Яке із десяти чисел

найбільше?

Розв’язання. Зрозуміло, що це число міститься в середині цієї скінченої послідовності чисел і його можна знайти безпосереднім обчисленням.