Похідна та її застосування

3.якщо непарна, а функція парна, то складна функція парна;

4.якщо функція періодична, то і складна функція періодична, причому її період може бути меншим за період функції , але не більшим; їх періоди збігаються, якщо функція f строго монотонна.

Зручно користуватися такими твердженнями:

1.сума скінченого числа парних (непарних) функцій є парною (непарною) функцією;

2.добуток парних функцій є парною функцією;

3.добуток непарних функцій є парною функцією, якщо число функцій-множників – парне число, і непарною, якщо число функцій-множників непарне;4.добуток(частка) парної і непарної функції є функцією непарною.

Дослідимо функції та побудуємо їх графіки.

Приклад 1. Побудувати графік функції

Розв’язання.

1)Область визначення функції f :

Х= .

2)Функція парна. Тому її графік симетричний відносно осі ординат.

3)Функція не є періодичною. Це випливає навіть з того, що вона невизначена лише у двох точках.

4)Графік функції перетинає вісь ординат у точці (0;1). Нулі функції відсутні. Отже, графік функції не перетинає вісь абсцис.

5)Дослідимо функцію на монотонність та критичні точки. Для цього знайдемо похідну

х=0–критична точка.

Для. Отже, на цих проміжках функція зростає. Оскільки функція парна, то на проміжках вона спадає. Тоді точка х=0 є точкою локального максимуму. Знайдемо його значення .

6)Дослідимо функцію на опуклість та точки перегину:

На проміжках . Отже, графік функції опуклий вниз. На проміжку, а тому графік функції опуклий вгору.

Точки перегину відсутні.

7)Оскільки , то пряма у=1 є горизонтальною асимптотою для графіка функції.

Дослідимо поведінку функції біля точок х=2, х=-2:

Отже, в точці х=2 функція має розрив другого роду, а пряма х=2 є вертикальною асимптотою. Враховуючи парність функції, робимо висновки, що пряма х=-2 також є вертикальною асимптотою.