Похідна та її застосування

Знайдемо це число за допомогою похідної. Для цього розглянемо функцію.Знайдемо її похідну, записавши функцію в такому вигляді:

Тоді

Знак похідної залежить лише від виразу, що знаходиться в дужках. Функція спадає на інтервалі , причому , а . Тому на інтервалі функція f зростає, а на інтервалі – спадає. Тоді найбільше число буде або . Безпосереднє обчислення дає відповідь на поставлене в задачі запитання : є найбільшим серед десяти даних чисел.

Приклад 2. У плоску фігуру, обмежену параболою і прямою у=4, вписати прямокутник найбільшої площі так, щоб нижня основа лежала на прямій , а вершини верхньої основи на параболі.

Розв’язання. Нехай у фігуру ABC вписано прямокутник DKMN.

.

Позначимо абсциси точок M і N через , а тоді точки D і K матимуть абсцисою точку - .

Отже, DN=2 , де DN – ширина прямокутника. Висота прямокутника буде дорівнювати різниці ординат точок M і N, тобто MN= .

Тоді площу прямокутника DKMN запишемо у такому вигляді:

Розглянемо функцію . Її похідна . Точка є точкою максимуму для функції.

Відповідь: .

Приклад 3. Криволінійна трапеція обмежена графіком функції та прямими х=-1, х=2, у=0. У якій точці графіка функції треба провести дотичну, щоб вона відтинала від криволінійної трапеції звичайну трапецію найбільшої площі?

Розв’язання. Позначимо шукану точку через , де . Запишемо рівняння дотичної, яка проходить через точку графіка з абсцисою :

Знайдемо значення цієї дотичної в точках х=-1, х=2:

Площу звичайної трапеції запишемо у такому вигляді:

Розглянемо функцію

Знайдемо її похідну:

Функція має єдину критичну точ , в якій вона досягає максимуму.

Висновок

Мета даної курсової роботи розкрити деякі питання застосування похідної: для дослідження функцій на монотонність та екстремум, знаходження найбільшого та найменшого значення функцій, розглянути прикладні задачі на дослідження функцій, а також задачі на складання рівнянь дотичної, нормалі та деяких інших.

Для цього ми побудували роботу таким чином: спочатку наведені всі необхідні теоретичні відомості, далі розглянуто алгоритми розв’язання кожного типу задач, після чого наводиться приклади, які розв’язані з повним поясненням.

Приклади розташовані у порядку зростання складності, що дає можливість поступово засвоювати викладення матеріалу. В роботі наводяться необхідні геометричні інтерпретації.