Похідна та її застосування

Розв’язання. Функція визначена і диференційована на R. Її похідна дорівнює нулю при .

Ця критична точка розбиває числову пряму на два інтервали знакосталості похідної :

Оскільки на інтервалі, то функція f в точці має локальний максимум.

1.3. Зростання та спадання функції

Дослідження функції на зростання та спадання ґрунтується на теоремі математичного аналізу.

Теорема. Нехай функція неперервна на проміжку і диференційована в інтервалі (а,б).для того, щоб функція f була зростаючою(спадною) на проміжку , необхідно і достатньо виконання двох умов:

1.

2.рівність не повинна виконуватися ні в жодному інтервалі, що міститься в .

Як наслідок цієї теореми можна використовувати таку теорему (достатня ознака строгої монотонності):

Теорема. Нехай функція f неперервна на проміжку і диференційована в інтервалі (а,б). Якщо, то f зростає(спадає) на .

Тому для знаходження проміжків зростання та спадання диференційованої функції діють у такий спосіб:

1.Знаходять:

а)область визначення функції , якщо вона наперед не задана;

б)похідну даної функції ;

в)точки, в яких похідна дорівнює нулю, для чого розв’язують рівняння , а також точки, в яких функція визначена, але похідна не існує, їх називають критичними точками.

2.Визначають знак похідної на конкретному інтервалі, достатньо обчислити її значення для будь-якого значення аргументу, що належить цьому інтервалу.

Приклади

Приклад 1. Знайти проміжки зростання та спадання функції

Розв’язання. Функція визначена і диференційована на множені R.

Знайдемо її похідну

Нулями похідної є х1=1, х2= .

Оскільки похідна неперервна, то вона зберігає знак на інтервалах . Оскільки похідна задана квадратним тричленом з додатним коефіцієнтом при х2, то вона набуває додатних значень поза коренями, тобто на інтервалах і від’ємних між коренями, тобто на інтервалі .

Отже , на інтервалах функція f зростає, а на інтервалі – спадає.