МНОЖИНИ І ВІДНОШЕННЯ

Координатне зображення точок площини вперше було запропоновано французьким математиком і філософом Рене Декартом, тому введена теоретико-множинна операція і називається декартовим добутком.

3. Скінченна множина A, елементами якої є символи (літери, цифри, спеціальні знаки тощо), називається алфавітом. Елементи декартового степеня A називаються словами довжини n в алфавіті A. Множина всіх слів в алфавіті A - це множина

A* = {e} A A2 A3 . = {e} Ai,

де e - порожнє слово (слово довжини 0), тобто слово, яке не містить жодного символу алфавіту A.Замість запису слів з An у вигляді кортежів (a1,a2,...,an) частіше використовують традиційну форму запису слів у вигляді послідовності символів a1a2...an, ajA, j=1,2,...,n. Наприклад, 010111, 011, 0010, 100, 010 - слова в алфавіті B = {0,1}, а 67-35, -981, (450+12)/27, 349*2+17 - це слова в алфавіті C = {0,1, 2,3,4,5,6,7,8,9,+,-,*,/,(,)}.

Операція декартового добутку неасоціативна і некомутативна, тобто множини (AB)C і A(BC), а також множини AB і BA, взагалі кажучи, нерівні між собою.

Зв’язок декартового добутку з іншими теоретико-множинними операціями встановлюється такими тотожностями:

(A B) C = (AC) (BC),

(AB) C = (AC)(BC),

A (B C) =(AB) (AC),

A (BC) =(AB)(AC).

Проекцією на i-у вісь (або i-ою проекцією) кортежу w=(a1,a2,...,an) називається i-а координата ai кортежу w, позначається Pri(w) = ai.

Проекцією кортежу w=(a1,a2,...,an) на осі з номерами i1,i2,...,ik називається кортеж (ai1,ai2,...,aik), позначається Рri1,i2,...,ik(w) = (ai1,ai2,...,aik).

Нехай V - множина кортежів однакової довжини. Проекцією множини V на i-у вісь (позначається PriV ) називається множина проекцій на i-у вісь усіх кортежів множини V:

PriV = { Pri(v) | vV }.

Аналогічно означається проекція множини V на декілька осей:

Pri1,i2,...,ikV = { Pri1,i2,...,ik(v) | vV }.

Приклад 1.10. Pri1,i2,...,ik( A1 A1 An ) = Ai1 Ai2 Aik.

Якщо V={(a,b,c),(a,c,d),(a,b,d)}, то Pr1V={a}, Pr2V={b,c}, Pr2,3V={(b,c),(c,d), (b,d)}.

6. Відповідності, функції і відображення

Відповідністю між множинами A і B називається будь-яка підмножина CAB.

Якщо (a,b)C, то кажуть, що елемент b відповідає елементу a при відповідності C.

Поняття віповідності можна проілюструвати за допомогою так званого графіка відповідності. Нехай A={1,2,3,4,5} і B={a,b,c,d}, а C = {(1,a),(1,d),(2,с), (2,d),(3,b),(5,а),(5,b)} - відповідність між A і B. Позначимо через 1,2,3,4,5 вертикальні прямі, а через a,b,c,d - горизонтальні прямі на координатній площині (рис.1.2). Тоді виділені вузли на перетині цих прямих позначають елементи відповідності C і утворюють графік відповідності C.