МНОЖИНИ І ВІДНОШЕННЯ

{a,b} \ {a,b,c,d}.г). Симетричною різницею множин A і B (записується AB, AB або AB ) називається множина, що складається з усіх елементів множини A, які не містяться в B, а також усіх елементів множини B, які не містяться в A. Тобто

AB = { x | ( xA і xB ) або ( xB і xA )} або xAB

Приклад 1.6. {a,b,c}{a,c,d,e} = {b,d,e},

{a,b} {a,b}.

Введені теоретико-множинні операції можна проілюструвати діаграмою (рис.1.1).

Тут множини A і B - це множини точок двох кругів.

Тоді AB - складається з точок областей І, ІІ, ІІІ,

AB - це область ІІ,

A \ B - область І,

B \ A - область ІІІ,

AB - області І і ІІІ.

д). У конкретній математичній теорії буває зручно вважати, що всі розглядувані множини є підмножинами деякої фіксованої множини, яку називають універсальною множиною або універсумом і позначають через E (або U). Наприклад, в елементарній алгебрі такою універсальною множиною можна вважати множину дійсних чисел R, у вищій алгебрі - множину комплексних чисел C, в арифметиці - множину цілих чисел Z, в традиційній планіметрії - множину всіх точок площини або множину всіх геометричних об’єктів, тобто множину множин точок на площині тощо.

Якщо зафіксована універсальна множина E, то доповненням множини A (яке є підмножиною універсальної множини E ) - записується - називається множина всіх елементів універсальної множини, які не належать множині A.

Тобто

= { x | xE і xA } або x xA.

Неважко помітити, що = E \ A.

Приклад 1.7. Якщо за універсальну множину прийняти множину N всіх натуральних чисел, то доповненням множини P всіх парних натуральних чисел буде множина всіх непарних натуральних чисел.

Зазначимо у вигляді тотожностей властивості введених вище теоретико-множинних операцій.

1. Асоціативність (A B) C = A (B C); (AB)C = A(BC).

2. Комутативність A B = B A;AB = BA.

3. Дистрибутивність A(BC)=(AB)(AC); A(BC)=(AB)(AC),

4. Ідемпотентність A A = A; AA = A.