МНОЖИНИ І ВІДНОШЕННЯ

Приклад 1.18. 1. У множині Z цілих чисел множина N натуральних чисел має найменший елемент (число 1) і не має найбільшого елемента.

2. У довільній множині M з тривіальним порядком iM (відношенням рівності) кожен елемент aM є одночасно максимальним і мінімальним елементом. Найбільший і найменший елементи в множині M відсутні.

3. Булеан (A) множини A з відношенням часткового порядку містить найменший елемент - порожню множину і найбільший елемент - саму множину A. У множині D всіх непорожніх підмножин множини A (тобто в множині (A)\{}) не існує найменшого елемента, але всі одноелементні множини {a}, aA є мінімальними елементами множини D.

4. У множині N натуральних чисел, частково впорядкованій за відношенням "ділить", число 1 є найменшим елементом, а найбільшого елемента не існує. Якщо ж множину N доповнити числом 0, тобто розглянути множину невід'ємних цілих чисел із відношенням часткового порядку "ділить", то окрім найменшого елемента (як і раніше, число 1) з'являється найбільший елемент - число 0.

Лінійно впорядкована множина (ланцюг) M називається цілком впорядкованою множиною, якщо кожна непорожня підмножина AM має найменший елемент.

Зокрема, множина N натуральних чисел з традиційним відношенням порядку є цілком впорядкованою, а множина Z цілих чисел - не є цілком впорядкованою, оскільки будь-яка її нескінченна підмножина від'ємних чисел не має найменшого елемента.

Якщо M - частково впорядкована множина, то множина L всіх її ланцюгів (тобто лінійно впорядкованих підмножин множини M) є також частково впорядкованою за відношенням теоретико-множинного включення. Максимальні елементи множини L називають максимальними ланцюгами множини M.

Наведемо ряд важливих тверджень про частково впорядковані множини, які часто застосовуються у вищій алгебрі, математичному аналізі, топології та інших розділах сучасної математики.

Теорема Куратовського-Цорна або лема Цорна. Якщо в частково впорядкованій множині M будь-який ланцюг має верхню (нижню) грань, то множина M має максимальний (мінімальний) елемент.

Теорема Хаусдорфа. Будь-який ланцюг частково впорядкованої множини M міститься в деякому максимальному ланцюзі множини M.

Теорема Цермело. Будь-яку множину M можна цілком впорядкувати.

Можна довести, що всі три наведені теореми еквівалентні між собою (тобто зі справедливості будь-якої з них випливає справедливість двох інших), і що всі вони в свою чергу еквівалентні одній з фундаментальних аксіом сучасної аксіоматичної теорії множин, так званій аксіомі вибору.

Аксіома вибору. Якщо дано множину M, то існує функція w:( (M)\{}) M, яка кожній непорожній підмножині AM ставить у відповідність певний елемент a = w(A) цієї підмножини, aA.

Iнакше кажучи, функція w обирає по одному елементу з непорожніх підмножин множини M.

Зокрема, аксіомою вибору ми неявно користувались при доведенні теореми 1.2.

Будь-яке твердження T відносно елементів деякої цілком впорядкованої множини M можна доводити, використовуючи так звану трансфінітну індукцію, яка є узагальненням відомого методу математичної індукції.

База індукції. Доводимо справедливість твердження T для найменшого елемента множини M.

Iндукційний крок. Робимо припущення, що твердження T виконується для будь-якого елемента a такого, що a