МНОЖИНИ І ВІДНОШЕННЯ

3. Якщо A~B і B~C, то A~C (транзитивність).

Наведемо декілька прикладів рівнопотужних нескінченних множин.

Приклад 1.12. 1. Множина натуральних чисел N рівнопотужна множині S={1,4,9,16,...}, яка складається з квадратів натуральних чисел. Необхідна взаємно однозначна відповідність встановлюється за законом (n,n2), nN, n2S.

2. Множина Z всіх цілих чисел рівнопотужна множині P всіх парних чисел. Тут взаємно однозначна відповідність встановлюється таким чином: (n,2n), nZ, 2nP.

3. Множина точок інтервалу (-/2, /2) рівнопотужна множині точок дійсної прямої. Шукана взаємно однозначна відповідність встановлюється за допомогою тригонометричної функції tg: (x,tg x), x(-/2, /2), tg x() (див. рис.1.3,а).

4. Множини точок двох довільних відрізків a і b рівнопотужні. Правило, за яким встановлюється взаємно однозначна відповідність між точками відрізків a і b різної довжини, зображено на рис.1.3,б. Кожний промінь з точки O, який перетинає відрізки a і b в точках v і w, утворює одну пару (v,w) необхідної взаємно однозначної відповідності.

5. Аналогічним чином може бути встановлена взаємно однозначна відповідність між множинами точок двох довільних квадратів K1 і K2 різних розмірів (див.рис.1.3,в).

Зауваження. З рівнопотужності довільних відрізків і транзитивності рівнопотужності можна зробити висновок, що будь-який відрізок рівнопотужний інтервалу (-/2, /2) і, значить, рівнопотужний всій прямій.З усіх наведених прикладів випливає, що нескінченна множина може бути рівнопотужна своїй власній підмножині, що очевидно неможливо для скінченних множин. Саме незвичність і екзотичність висновків типу "множина парних чисел містить стільки ж елементів, як і множина всіх цілих чисел", "будь-який інтервал містить стільки ж точок, як і вся пряма" тощо призвели до того, що у канторівської теорії множин поряд із палкими прихильниками було чимало рішучих противників. Вони категорично відкидали всі спроби дослідження та порівняння нескінченних множин. Серед іншого й на тій підставі, що "частина завжди "менша" від цілого і не може бути "рівна" цілому". Але це не злякало Кантора. Він зрозумів і своїми результатами переконував інших, що нескінченні множини підлягають новим законам, непридатним для скінченних множин. Розвиваючи цю тезу, Р.Дедекінд взагалі запропонував вважати нескінченною множиною таку множину, яка рівнопотужна своїй власній підмножині, тобто покласти цю "дивну" властивість в основу означення нескінченної множини.

Наступне питання, яке постало перед Кантором: чи всі нескінченні множини рівнопотужні?

8. Зліченні множини

Множина A рівнопотужна множині N натуральних чисел називається зліченною множиною.

Іншими словами, зліченна множина A - це така множина, всі елементи якої можна занумерувати числами 1,2,3,..., тобто можна вказати спосіб, за яким першому елементу множини A ставиться у відповідність число 1, другому - число 2, третьому - число 3 і т.д. Отже, будь-яку зліченну множину A можна подати у вигляді

A = {a1,a2,a3,...,an,...}.

Неважко переконатись, що множини квадратів натуральних чисел, усіх парних чисел, усіх непарних чисел, чисел кратних деякому числу k, чисел, які закінчуються парою цифр 00 тощо є зліченними множинами.

Перейдемо до вивчення властивостей зліченних множин.

Теорема 1.2. Будь-яка нескінченна множина M містить зліченну підмножину.