МНОЖИНИ І ВІДНОШЕННЯ

З умови теореми B ~ A1, одержаного співвідношення A~A1 і властивостей симетричності і транзитивності відношення рівнопотужності маємо B ~ A.

Теорема доведена.

Наслідок 1.8.1. Якщо виконуються включення A2A1A і A2~A (|A2|=|A |), то

A1 ~ A (|A1|=|A|).

Справедливість твердження випливає з того, що A ~ A2A1 і A1~A1A.

Наслідок 1.8.2. Якщо AB, то |A| |B|.

Для кардинальних чисел зліченних і континуальних множин, враховуючи їхню поширеність і популярність в сучасній математиці, введені спеціальні позначення. Так кардинальне число множини N всіх натуральних чисел, а значить, і будь-якої зліченної множини позначають через 0 (читається "алеф-нуль"). Кардинальне число континуальних множин позначають через c або 1 ("алеф-один"). Якщо порівняти доведення теорем 1.1 і 1.7, то неважко помітити аналогію у встановленні взаємно однозначної відповідності між підмножинами множини A і двійковими послідовностями (скінченними в теоремі 1.1 і нескінченними в теоремі 1.7). Враховуючи цю аналогію, часто записують співвідношення |(A)| =2|A| як для скінченних, так і для нескінченних множин. Зокрема, за теоремою 1.7 1 =20.

Наступне питання, яке виникло в теорії множин: чи існує найбільше кардинальне число, тобто, чи існує множина найбільшої потужності? Негативну відповідь на це питання дає наступна важлива теорема, доведення якої належить Г.Кантору.

Теорема 1.9. Потужність множини (A) підмножин будь-якої непорожньої множини A більша, ніж потужність даної множини A: | (A)| > |A|.

Доведення. Оскільки існує тривіальна взаємно однозначна відповідність f між множиною A і підмножиною множини (A): f = { (a,{a}) | aA, {a}(A)}, то достатньо довести, що множини A і (A) нерівнопотужні.

Доведення проведемо від супротивного. Припустимо, що існує взаємно однозначна відповідність g між множинами A і(A): g = { (b,B) | bA і B(A)}. У кожній парі відповідності перша координата b - це елемент множини A, а друга координата B - деяка підмножина множини A. Тому для кожної пари (b,B)g виконується одне з двох співвідношень: або bB, або bB. Побудуємо нову множину K = { b | bA і bB для (b,B)g }.

З того, що (A) випливає, що K .

Оскільки K є підмножиною множини A (K(A)), то при взаємно однозначній відповідності g підмножина K відповідає деякому елементові kA, тобто існує пара (k,K)g. Тоді відносно елемента kA і підмножини KA можливі дві ситуації: або kK, або kK.

Нехай kK, тоді з умови (k,K)g і правила побудови множини K випливає, що kK.

З іншого боку, якщо припустити, що kK, то з (k,K)g і правила побудови множини K повинно виконуватись kK.

Одержана суперечність доводить неможливість встановлення взаємно однозначної відповідності між A і (A). Таким чином, |A| < | (A)|.

Наслідок 1.9.1. Не існує множини, яка має найбільшу потужність, тобто не існує найбільшого кардинального числа.

Справді, розглянувши множини N, (N), ((N)),..., одержимо нескінченно зростаючу послідовність відповідних кардинальних чисел 0 ,1 =20,2 =21, ...

На закінчення зупинимось ще на одній цікавій класичній проблемі теорії множин, сформульованій ще у 1884 році Г.Кантором:

гіпотеза континуума, яка стверджує, що не існує множини, кардинальне число якої розташоване між 0 і 1, тобто 0 < 1.