МНОЖИНИ І ВІДНОШЕННЯ

Кожному з таких чисел відповідають дві різні послідовності t' і t'', а отже, і два різні елементи множини (N): один - для зображення з періодом 0, другий - з періодом 1. Позначимо через T множину тих підмножин множини N, які при побудованій вище відповідності зіставляються нескінченним двійковим дробам із періодом, T(N). Тоді існує взаємно однозначна відповідність між множиною всіх дійсних чисел з інтервалу (0,1) і множиною (N) \ T. Однак, оскільки множина T зліченна, то за теоремою 1.6 маємо (N) ~ (N) \ T. Таким чином, множина (N), а значить і множина (A) для будь-якої зліченної множини A, мають потужність континуум.

10. Кардинальні числа

Нехай A - деяка множина і S = { B | B ~ A} - сукупність усіх множин, рівнопотужних множині A. Очевидно, що всі множини з S рівнопотужні. Кардинальним числом (позначається |A|, або Card A) будемо називати деякий об’єкт для позначення потужності будь-якої множини із сукупності S.

Зокрема, для скінченної множини A кардинальним числом |A| є натуральне число, яким позначається кількість елементів будь-якої з множин сукупності S. Таким чином, можна вважати, що кардинальне число є узагальненням поняття числа елементів.

Природно виникає питання про порівняння кардинальних чисел нескінченних множин.

Нехай A і B нескінченні множини, тоді логічно можливі такі чотири випадки:

1. Iснує взаємно однозначна відповідність між A і B, тобто A ~ B і |A|=|B|.

2. Існує взаємно однозначна відповідність між множиною A і деякою власною підмножиною B' множини B. Тоді кажуть, що потужність множини A не менша від потужності множини B і записують |A||B|.

3. Множина A рівнопотужна деякій підмножині множини B і, навпаки, множина B рівнопотужна деякій підмножині множини A, тобто A~B'B і B~A'A.

За теоремою Кантора-Бернштейна, доведення якої наведено нижче, у цьому випадку виконується A ~ B, тобто |A|=|B|.

4. Не існує взаємно однозначної відповідності між множиною A і жодною підмножиною множини B і, також, не існує взаємно однозначної відповідності між множиною B і жодною підмножиною множини A. З цієї ситуації випливало б, що потужності множин A і B непорівнювані між собою.

Однак більш глибокі дослідження в теорії множин показали, що, спираючись на аксіому вибору (див.розд.1.13), можна довести неможливість четвертого випадку.

Таким чином, потужності будь-яких двох множин A і B завжди порівнювані між собою. Отже, для кардинальних чисел |A| і |B| довільних множин A і B виконується одне з трьох співвідношень: |A|=|B|, |A||B| або |B||A|.

Якщо |A||B|, однак множина A нерівнопотужна множині B, то писатимемо |A|<|B|.

Теорема 1.8 (теорема Kантора-Бернштейна).

Якщо множина A рівнопотужна деякій підмножині B1 множини B, A~B1B і, одночасно, множина B рівнопотужна деякій підмножині A1 множини A, B~A1A, то множини A і B рівнопотужні.

Доведення. Зрозуміло, що роблячи припущення про існування таких підмножин B1B і A1A, що A1 ~ B і B1 ~ A, вважаємо, що A1 і B1 є власними підмножинами множин A і B відповідно. Якщо A1 = A або B1=B, то справедливість теореми очевидна.

Нехай f0B A взаємно однозначна відповідність між B і A. Тоді з того, що B1B випливає, що існує множина A2 = f0(B1)A1 така, що f1B1A2BA1, f1f0 і f1 є взаємно одозначною відповідністю між B1 і A2, тобто B1~A2. За умовою теореми A~B1, отже A~A2. Це означає, що існує взаємно однозначна відповідність f2 між множинами A і A2, f2AA2.