МНОЖИНИ І ВІДНОШЕННЯ

Неважко переконатись, що відношення R транзитивне тоді і тільки тоді, коли RRR.

Зауважимо, якщо відношення R має будь-яку з перерахованих вище властивостей, то обернене відношення R-1 також має ту саму властивість. Таким чином, операція обернення зберігає всі п'ять властивостей відношень.

Для довільного відношення R означимо нову операцію. Відношення R* називається транзитивним замиканням відношення R на M, якщо aR*b, a,bM, тоді і тільки тоді, коли у множині M існує послідовність елементів a1,a2,...,an така, що a1 = a, an = b і a1Ra2, a2Ra3,...,an-1Ran.

Наприклад, нехай M - це множина точок на площині і aRb, a,bM, якщо точки a і b з'єднані відрізком. Тоді cR*d, c,dM, якщо існує ламана лінія, яка з'єднує точки c і d.

Можна довести, що відношення R транзитивне тоді і тільки тоді, коли R*=R.

Деякі відношення займають особливе місце в математиці. Розглянемо ці відношення окремо.

12. Відношення еквівалентності

Відношення R на множині M називається відношенням еквівалентності (або просто еквівалентністю), якщо воно рефлексивне, симетричне і транзитивне.

Враховуючи важливість відношення еквівалентності, дамо розгорнуте означення цього поняття. Таким чином, відношення R на множині M є відношенням еквівалентності або евівалентністю, якщо

1. aRa для всіх aM (рефлексивність);

2. Якщо aRb, то bRa для a,bM (симетричність);

3. Якщо aRb і bRc, то aRc для a,b,cM (транзитивність).

Приклад 1.15. 1. Відношення рівності iM на будь-якій множині M є відношенням еквівалентності. Рівність - це мінімальне відношення еквівалентності, бо при видаленні бодай одного елемента з iM відношення перестає бути рефлексивним, а отже, і відношенням еквівалентності.

2. Відношення рівнопотужності множин є еквівалентністю.

3. Важливу роль відіграє в математиці відношення "мають однакову остачу при діленні на k" або "конгруентні за модулем k", яке є відношенням еквівалентності на множині N натуральних чисел для будь-якого фіксованого kN. Відношення конгруентності за модулем k часто позначають a  b (mod k). Цьому відношенню належать, наприклад, пари натуральних чисел (17,22), (1221,6), (42,57) для k=5, тобто 17 22(mod 5), 1221 6 (mod 5), 42 57 (mod 5).

4. Еквівалентністю є відношення подібності на множині всіх трикутників.

Сукупність множин { Bi | iI} називається розбиттям множини A, якщо Bi=A і BiBj для ij. Множини Bi, iI є підмножинами множини A і називаються класами, суміжними класами, блоками або елементами розбиття. Очевидно, що кожний елемент aA належить одній і тільки одній множині Bi, iI.

Припустимо, що на множині M задано відношення еквівалентності R. Виконаємо таку побудову. Виберемо деякий елемент aM і утворимо підмножину SaR = { x | xM і aRx}, яка складається з усіх елементів множини M еквівалентних елементу a. Відтак, візьмемо другий елемент bM такий, що bSaR і утворимо множину SbR = { x | xM і bRx } з елементів еквівалентних b і т.д. Таким чином одержимо сукупність множин (можливо, нескінченну) {SaR,SbR,...}. Побудована сукупність множин { SiR | iI} називається фактор-множиною множини M за еквівалентністю R і позначається M/R.