МНОЖИНИ І ВІДНОШЕННЯ

За кожним відношенням часткового порядку на довільній множині M можна побудувати інше відношення < на M, поклавши a < b тоді і лише тоді, коли ab і ab. Це відношення називається відношенням строгого порядку на множині M. Зрозуміло, що відношення строгого порядку антирефлексивне, транзитивне, а також задовольняє умові так званої сильної антисиметричності або асиметричності, тобто для жодної пари a,bM не може одночасно виконуватись a
З іншого боку, за довільним відношенням строгого порядку < на множині M однозначно можна побудувати відповідне відношення часткового (нестрогого) порядку , поклавши a  b тоді і тільки тоді, коли a < b або a = b, a,bM. З огляду на такий простий зв'язок між відношеннями часткового (нестрогого) і строгого порядку можна обмежитись вивченням лише одного з цих порядків, наприклад, .

Приклад 1.17. 1. Відношення і < ( і > ) є відношеннями відповідно часткового і строгого порядку на множинах чисел N, Z і R. Більше того, множини N, Z і R, а також будь-які їхні підмножини, є лінійно впорядкованими множинами за відношеннями або .

2. Частковим порядком є відношення рівності iM на будь-якій множині M. Цей порядок іноді називають тривіальним.

3. Відношення нестрогого включення є відношенням часткового порядку, а відношення - відношенням строгого порядку на множині (A) всіх підмножин (булеані) заданої множини A.

4. Задамо відношення і < на множині R кортежів дійсних чисел довжини n наступним чином: (a1,a2,...,an)(b1,b2,...,bn ), якщо a1b1, a2b2,..., anbn; аналогічно (a1,a2,...,an)<(b1,b2,...,bn), якщо (a1,a2,...,an)(b1,b2,...,bn) і принаймні для однієї координати i=1,,...,n виконується ai
Тоді (2,3.75,-4)<(2.1, 24,0), але кортежі (1,4,-1.7 ) і (2,2,4) непорівнювані.

Аналогічно може бути введено частковий порядок на множинах Nn, Zn і Qn.

5. Зафіксуємо строгий порядок розташування символів у довільному скінченному алфавіті A={a1,a2,...,an}, наприклад, покладемо, що a1
Лексикографічний порядок можна поширити на множину A всіх слів в алфавіті A, якщо доповнити алфавіт A додатковим ("порожнім") символом b і вважати, що b
Нехай A = {a,b,c} і a
Лексикографічний порядок лежить в основі впорядкування всіх словників, енциклопедій, індексів (предметних або іменних покажчиків), довідників, списків, таблиць тощо.6. В множині N натуральних чисел відношення "ділить" є відношенням часткового порядку. Маємо 4 28, 11 132, 5 5, 1 n для будь-якого nN. Пари 7 і 22, 13 і 35 непорівнювані.

Нехай M частково впорядкована множина і A деяка непорожня підмножина множини M. Верхньою гранню підмножини AM в множині M називається елемент bM такий, що ab всіх aA. Елемент b називається найбільшим елементом множини M, якщо b - верхня грань множини M.

Відповідно, елемент c частково впорядкованої множини M називається нижньою гранню підмножини AM, якщо ca для будь-якого aA. Елемент c - найменший в множині M, якщо c - нижня грань самої множини M.

Таким чином, вважається, що найбільший і найменший елементи, а також верхня та нижня грані (якщо вони існують), є порівнюваними з усіма елементами даної множини M або підмножини A відповідно.

Елемент xM називається максимальним в множині M, якщо не існує елемента aM такого, що x