МНОЖИНИ І ВІДНОШЕННЯ

2. Множина N натуральних чисел не є повною решіткою, оскільки будь-яка її нескінченна підмножина на має найменшої верхньої грані.

3. Множина всіх дільників натурального числа n, частково впорядкована за відношенням "ділить", є повною решіткою. Одиницею в такій решітці є число n, а нулем - число 1.

15. Парадокси теорії множин

Слово "парадокс" грецького походження і перекладається українською мовою - несподіваний, дивний. Вживають це слово у відношенні до висловлювання (положення, ідеї), яке суттєво різниться від загальноприйнятого традиційного уявлення з даного приводу. Вживання терміна "парадокс" стосовно до тих суперечностей, які були виявлені різними математиками в теорії множин Г.Кантора, є наївною спробою зменшити їхнє значення і надати їм характеру логічних курйозів, штучних, неприродних конструкцій. Більш точно суть явища передає назва, "антиномії теорії множин", оскільки термін антиномія є синонімом терміна суперечність. Але за традицією, будемо називати сформульовані нижче положення парадоксами.

Парадокс Б.Рассела. Для будь-якої множини M коректним є питання: чи множина M належить собі як окремий елемент, тобто чи є множина M елементом самої себе, чи ні? Наприклад, множина всіх множин є множиною і тому належить сама собі, а множина всіх будинків у місті не є будинком, множина студентів в аудиторії не є студентом.

Отже коректно поставити сформульоване питання і щодо множини всіх множин, які не будуть власними елементами. Нехай M - множина всіх тих множин, що не є елементами самих себе. Розглянемо питання: а сама множина M є елементом самої себе чи ні? Якщо припустити, що MM, то з означення множини M випливає MM. Якщо ж припустимо, що MM, то з того ж таки означення дістанемо MM.

Близьким до парадокса Рассела є так званий "парадокс цирульника": цирульник - це мешканець міста, який голить тих і тільки тих мешканців міста, які не голять самі себе. Проводячи міркування, аналогічні тим, що були зроблені в парадоксі Рассела, дійдемо висновку, що цирульник голить себе в тому і тільки в тому випадку, коли цирульник не голить сам себе.

А от парадокс, що був відомий самому автору теорії множин Г.Кантору. Розглянемо об’єднання всіх мислимих множин і позначимо його U. Тоді за теоремою 1.8 потужність множини (U) всіх підмножин множини U має більшу потужність, ніж сама множина U. Однак це парадоксально, оскільки за означенням множина  є множиною, яка містить всі множини (зокрема, і множину (U) ).

Багато хто з математиків на початку ХХ ст. не надавали цим парадоксам особливого значення, оскільки в той час теорія множин була відносно новою галуззю математики і не зачіпала інтересів більшості математиків. Однак їхні більш відповідальні та проникливі колеги зрозуміли, що виявлені парадокси стосуються не тільки теорії множин і побудованих на ній розділів класичної математики, але мають безпосереднс відношення до логіки взагалі, тобто до головного інструменту математики.

Зокрема, парадокс Рассела може бути переформульований в термінах логіки і таким чином доданий до відомих з давніх часів логічних парадоксів (парадокса брехуна, парадокса всемогутньої істоти тощо).Гостро постало питання про обгрунтування засад математики. На початку ХХ ст. виникли три основні напрямки досліджень з обгрунтування сучасної математики. Коротко подамо суть кожного з цих напрямків.

1. Логіцизм. Основною тезою логіцизму є положення, що першоосновою математики є логіка, а математика - це лише частина логіки. Тобто всі математичні істини складають власну підмножину множини всіх логічних істин.

Головні ідеї та методи логіцизму були вперше викладені у великій праці А.Уайтхеда і Б.Рассела "Принципи математики", яка вийшла на початку другого десятиріччя ХХ ст.

Незважаючи на те, що в рамках логіцизму проблема обгрунтування математики не була остаточно розв'язана, все ж було зроблено чимало для з'ясування деяких важливих сторін логічної структури математики.

2. Iнтуїціонізм. Основними засадами інтуїціонізму є такі принципи: