МНОЖИНИ І ВІДНОШЕННЯ

Образом f2(A1) підмножини A1A при відповідності f2 буде деяка множина A3A2. Відповідність f3A1A3, f3f2 є взаємно однозначною, отже A1~A3. Аналогічно, образом f3(A2) підмножини A2A1 при відповідності f3 буде деяка множина A4A3, а відповідність f4A2A4, f4f3 буде взаємно однозначною, тобто A2~A4.

Продовжуючи ці міркування, одержимо нескінченний ланцюг строгих включень AA1A2A3An При цьому виконуються такі співвідношення:

A ~ A2 ~ A4 ~... ~ A2k ~ A2k+2 ~...,

A1 ~ A3 ~ A5 ~... ~ A2k+1 ~ A2k+3 ~...,

f0f1f2f3... fn ...

Із наведених співвідношень випливає, що відповідності

f'2 = f2 \ f3 (A \ A1 )(A2 \ A3 ),

f'4 = f4 \ f5 (A2 \ A3 )(A4 \ A5 ),

f'2k+2 = f2k+2 \ f2k+3 (A2k \ A2k+1 )(A2k+2 \ A2k+3 ),

є взаємно однозначними.

Отже,

(A \ A1) ~ (A2 \ A3 ) ~ (A4 \ A5 ) ~...~ (A2k \ A2k+1) ~ (A2k+2 \ A2k+3) ~....

Оскільки рівнопотужні множини (A \ A1), (A2 \ A3 ), (A4 \ A5 ),..., (A2k \ A2k+1),... попарно не перетинаються, то множини

C1 = (A \ A1) (A2 \ A3 ) (A4 \ A5 ) (A2k \ A2k+1)...,C2 = (A2 \ A3 ) (A4 \ A5 ) (A6 \ A7 ) (A2k+2 \ A2k+3)...

також рівнопотужні, тобто C1 ~ C2.

Позначимо через D = AA1A2A3An....

Неважко переконатись, що

A = D (A \ A1) (A1 \ A2 ) (A2 \ A3 ) (An \ An+1)...,

A1 = D (A1 \ A2 ) (A2 \ A3 ) (An \ An+1)...,

Нехай D0 = D (A1 \ A2 ) (A3 \ A4 ) (A2k+1 \ A2k+2)...,

тоді попередні співвідношення можна подати у вигляді:

A = D0 [(A \ A1) (A2 \ A3 ) (A4 \ A5 ) (A2k \ A2k+1)...] = D0 C1,

A = D0 [(A2 \ A3 ) (A4 \ A5 ) (A6 \ A7 ) (A2k+2 \ A2k+3)...] = D0 C2.

Оскільки між множинами C1 і C2 існує взаємно однозначна відповідність g, а D0C1= і D0C2, то iD0 g є взаємно однозначною відповідністю між A і A1, отже, A~A1. Через iD0D0D0 позначено тотожню взаємно однозначну відповідність між елементами множини D0 : iD0 = { (d,d) | dD0 }.