Основні задачі математичної фізики

.

Інтегруючи вираз (7) по параметру  в границях від 0 до  також отримаємо рішення

,(8)

якщо А() і В() такі, що цей інтеграл, його похідна по t і друга похідна по х існують і дістаютьсяшляхом диференціювання інтеграла по t і по х. Підберем А() і В() так, щоб рішення u(x,t) задовільняло умові (2). Покладаючись в рівності (8) t=0, на основі умови (2) дістанемо:

.(9)

Припустимо, що функція (х) такова, що вона представіма інтегралом Фур’є:

або

.(10)

зрівнюючи праві частини (9) і (10), отримаємо:

(11)

підставляючи знайдені вирази А() і В() у формулу (8) отримаємо:

або, міняючи порядок інтегрування, отримаємо

.(12)

Це і є рішення поставленої задачі.

Перетворемо формулу (12). Обрахуємо інтеграл, що стоїть в круглих душках:

.(13)

Це перетворення інтеграла зроблено шляхом підстановки

.(14)

Позначимо

.(15)

Диференціюючи, отримаємо:

.

Інтегруючи по частинах, знайдем:

або

Інтегруючи це диференціальне рівняння, отримаєм: