Основні задачі математичної фізики

Utt-a2uxx=0 (t=y, a11=-a2, a12=0, a22=1),

Задовільняюче початковим умовам

U(x,0)=(x); ut(x,0)=(x)

де (х) і (x) – задані у функції.

Зведем хвильове рівняння до канонічного виду, що містить змішану похідну. Тут характеристичне рівняння

A11dt2-2a12dxdt+a22dx2=0

Прийме вид -a2dt2+dx2=0,

або dx2-a2dt2=0.

Воно розпадається на два рівняння:

dx-adt=0 і dx+adt=0

інтеграли яких будуть x-at=C1, x+at=C2

введемо нові змінні

=x-at, =x+at.

Тоді

х=1, t=-a, x=1, t=a,

ux=ux+ux=u+u,

uxx=ux+ux+ux+ux=u+2u+u,

ut=ut+ut=-au+au,

utt=-aut-aut+aut+aut=a2u-2a2u+a2u.

Підставивши uxx, utt в вихідне рівняння, отримаємо

a2u-2a2u+a2u-a2(u+2u+u)=0,

-4a2u=0,

u=0.

Отримане рівняння можна записати як:

.