Основні задачі математичної фізики

.(16)

Знайдем постійну С. З (15) слідує:

Отже, в рівності (16) має бути

.

Тоді,

.(17)

Значення (17) інтеграла (15) підставляємо у (13)

.

Підставляючи замість  його вираз (14), отримаємо кінцеве значення інтеграла (13):

.(18)

Підставивши цей вираз інтеграла у рішення (12), отримаємо:

.(19)

Ця формула, інтеграл Пуассона, представляє собою рішення поставленої задачі.

Встановимо фізичний зміст формули (19). Розглянемо функцію

0 при -
*(х)= (x) при x0xx0+x,(20)

0 при x0+x
Тоді функція

(21)

є рішенням рівняння (1), що приймає при t=0 значення *(х). Приймаючи до уваги (20), ми можемо записати:

.

Примінем теорему про середнє до останього інтегралу, отримаємо:

.(22)

Формула (22) дає значення температури в точці стержня в довільний момент часу, якщо при t=0 в усьому стержні температура u*=0, крім відрізка [x0,x0+x], де вона рівна (х). Сума температур виду (22) і дає рішення (19). Замітимо, що якщо  - лінійна густина стержня, с – темплоємність матеріала, то кількість тепла в елементі [x0,x0+x] при t=0 буде