Основні задачі математичної фізики

Q()xc.(23)

Розглянемо далі функцію

.(24)

зрівнюючи її з правою частиною формули (22) з урахуванням (23), говорять, що вона дає значення температур в любій точці стержня в довільний момент часу t, якщо при t=0 в січній  було миттєве джерело теплоти з кількістю тепла Q=c.

Тема: Рішення задачі Діріхле для кола.

Нехай в площині 0ху є коло радіусом R з центром на початку координат і на його окружності задана деяка функція f(), де  - полярний кут. Потрібно знайти функцію u(r,), непреривну в колі, включаючи границю, задовільняючу всередині кола рівнянню Лапласа

.(1)

і на окружності кола що приймає задані значення

.(2)

Будем рішати задачу в полярних координатах. Перепишемо рівняння (1) в цих координатах:

(1)

Будем шукати рішення методом розділення змінних, покладаючи

U=Ф()R(r).(3)

Підставляючи в ріність (1’), вийде:

r2Ф()R(r)+rФ()R(r)+Ф()R(r)=0

або

.(4)

Так як ліва частина цієї рівності не залежить від r, а права від , отже, вони рівні постійному числу, яке ми позначаємо через –k2. Таким чином рівність (4) дає нам два рівняння:

Ф()+k2Ф()=0,(5)

r2R(r)+rR(r)-k2R(r)=0(5)

Загальне рішення рівності (5) будеФ=Аcosk+Bsink.(6)

Рішення рівняння (5) будем шукати у формі R(r)=rm. Підставляючи R(r)=rm у (5), дістанемо:

r2m(m-1)rm-1-k2rm=0

або