Основні задачі математичної фізики

Розглянемо малі відхилення точок струни від початкового положення. В силу цього можна припускати , що рух точок струни проходить перпендикулярно осі 0Х і в одній площі. При цьому препущенні процес коливань струни описується однією функцією u(x,t), яка дає величину переміщення точки струни з абсцисой х в момент t (рис.1).

Так як ми розглядаємо малі відхилення струни в площі (x,u), то будемо припускати, що довжина елемента струни М1М2 рівна її проекції на вісь 0Х, М1М2=х2-х1. Також будем припускати, що натяг в усіх точках струни однаковий; позначимо його як Т.

Розглянемо елемент струни ММ' (рис 2).

На кінцях цього елемента, по дотичним до струни, діють сили Т. нехай дотичні створять з віссю 0Х кути  та + . тоді проекція на вісь 0u сил, діючих на елемент ММ', буде рівна Тsin(+)-Tsin. Так як кут  малий, то можна покласти tg=sin, і ми отримаємо :

(тут ми примінили теорему Лагранжа до виразу, що стоїть у квадратних душках).

Щоб получити рівняння руху, потрібно зовнішні сили прирівняти силі інерції. Нехай  - лінійна щільність струни. Тоді маса елемента струни буде х. Прискорення елемента дорівнює . Отже, по принципу Даламбера будем мати:

Скорочуючи на х і позначаючи , получаємо рівняння руху . (1)

Це і є хвильове рівняння – рівняння коливань струни. Для повного визначення руху струни одного рівняння (1) недостатньо. Шукана функція u(x,t) повинна ще задовільнятись граничним умовам, вказуючим, що робиться на кінцях струни (х=0 і х=1), та початковим умовам, описуючим стан струни в початковий момент (t=0). Суцільність граничних та початкових умов називається краєвими умовами.

Нехай, наприклад, як ми припускали, кінці струни при х=0 і х=1 нерухомі. Тоді при довільному t мають виконуватись рівності:

u(0,t)=0,

u(l,t)=0.

Ці рівності є граничними умовами для нашої задачі.

В початковий момент t=0 струна має визначену форму, яку ми їй надали. Нехай ця форма визначається функцією f(x). Таким чином, має бути

. (2)

Далі, в початковий момент має бути задана швидкість в кожній точці струни, яка визначається функцією (х).Таким чином, має бути

. (3)

Умови (2) і (3) являються початковими умовами.

Тема: Розв’язок задачі Коші методом Даламбера.

Розглянемо ще один метод рішення хвильового рівняння – метод Даламбера.

Візьмем випадок, коли граничні умови нас не цікавлять або коли їх можна не враховувати. В цих випадках задача ставиться так:

Знайти рішення хвильового рівняння