Основні задачі математичної фізики

Це і є рівняння теплопровідності в однорідному стержні.

Щоб рішення рівняння (6) було повністю визначено, функція u(x,t) має задовільняти крайові умови. Крайові умови для рішення рівняння (6) можуть бути різні. Умови, які відповідають так званій першій крайовій задачі для 0tT, слідуючі:

u(x,t)=(x) (7)

u(x,t)=1(t) (8)

u(x,t)=2(t) (9)

Фізичні умови (7) (початкові умови) відповідають тому, що при t=0 в різних січних стержня задана температура, рівна (х). Умови (8) і (9) (граничні умови) відповідають тому, що на кінцях стержня при х=0 і при х=l підтримується температура, рівна 1(t) і 2(t) відповідно.

Тема: Розв’язок задачі методом перетворення Фур’є.Нехай в початковий момент задана температура в різних січних необмежаного стержня. Потрібно визначити розподіл температури в стержні в наступні моменти часу.

Якщо стержень співпадає з віссю 0Х, то математично задача формулюється слідуючим образом. Знайти рішення рівняння

(1)

в області -0, задовільняюче початковій умові

u(x,0)=(x)(2)

будемо шукати частинне рішення рівняння (1) у вигляді добутку двух функцій:

u(x,0)=-X(X)T(t).(3)

Підставляючи в рівняння (1), будем мати: X(x)T(t)=a2X(x)T(t) або

.(4)

Кожне з цих відношень не може залежати ні від х, ні від t, і тому ми їх прирівняємо постійній -2. З формули (4) отримаємо два рівняння:

T+a22T=0,(5)

X+2X=0.(6)

Рішаючи їх знайдем:

, X=Acosx+Bsinx.

Підставляючи в (3), отримаємо:

(7)

постійна С включається в А() і В().

Для кожного значення  ми торимаєм рішення виду (7). Произвольные постійні А і В для кожного значення  мають визначені значення. Виходячі з цього можна рахувати А і В функціями від . Сума рішень виду (7) також є рішенням: