Основні задачі математичної фізики

9.О.В.Мантуров та ін. “Математика в поняттях, означеннях, термінах”, т.ч., Київ, 1986.

10.П.Е.Данко, А.Г.Попов “Высшая математика в упражнениях и задачах”, ч.2, Москва, 1974.

Лекція №2.

Тема: Рівняння теплопровідності.

Розглянемо однорідний стержень довжини l. Будемо вважати, що бічна сторона стержня теплопроникна та що в усіх точках поперечного січення стержня температура однакова. Дослідимо процес розповсюдження тепла в стержні.

Розмістимо вісь 0Х так, що один кінець стержня буде співпадати з точкою х=0, а другий – з точкою х=l (див. рис.). Нехай u(x,t) – температура в січній стержня з абсцисой х в момент t. Дослідним шляхом визначимо, що швидкість розповсюдження тепла пролягаючого через січну з абсцисой х за одиницю часу, визначається формулою

(1)

розглянем елемент стержня, заключений між січними з абсцисами х1 і х2 (х2-х1=х). Кількість тепла, що пройшло через січну з абсцисою х1 за час t, буде рівно

(2)

те ж саме для січної з абсцисою х2

(3)

Прилив тепла Q1-Q2 в елемент стержня за час t буде рівний:

(4)

(Ми використали теорему Лагранжа до рівності ).

Цей прилив тепла за час t пішов на підвищення температури елемента стержня на величину U:

Q1-Q2=cqxSU

(5)

де с – теплоємність речовини стержня, q – щільність речовини стержня (qxS – маса елемента стержня).

Прирівнюючи вирази (4) і (5) одної і тої ж кількості тепла Q1-Q2, вийде:

або

.

Позначаючи k/cq=a2, ми одержуєм:

(6)