Основні задачі математичної фізики

m2-k2=0.

Отже, маємо два лінійно незалежних рішення rk і r-k. Загальне рішення рівняння (5) буде

R=Crk+Dr-k.(7)

Вираз (6) і (7) підставляємо у (3):

Uk=(Akcosk+Bksink)(Ckrk+Dkr-k).(8)

Функція (8) буде рішенням рівняння (1) при довільному значенні k, відмінним від 0. Якщо k=0, то рівняння (5) і (5) приймають вид:

Ф=0, rR(r)+R(r)=0,

отже,

U0=(A0+B0)(C0+D0lnr).(8)

Рішення має бути періодичною функцією від , так як при одному і тому ж значенні r при  і +2 ми маємо мати одне і те ж значення рішення, тому що розглядається одна і та ж точка кола. Виходячі з цього очевидно, що у формулі (8) має бути В0=0. Далі, ми шукаємо рішення, непреривне і кінцеве в колі. Отже, в центрі кола при r=0 рішення має бути кінцевим, і тому у формулі (8) має бути D0=0, а у формулі (8) Dk=0.

Таким чином, права частина (8) перетворюється в добуток А0С0, яке ми позначимо як А0/2. Отже,

.(8)

Ми будем складати рішення нашої задачі у вигляді суми рішень виду (8), так як сума рішень є рішення. Сума має бути періодичною функцією від . Для цього k має приймати цілі значення. Ми маємо обмежитись тільки додатніми значеннями

K=1, 2, …, n, …,

так як в силу произвольности постійних А, В, С, D від’ємні значення k нових частинних рішень не дають. Отже,

(9)

(постійна Сn включена у An i Bn). Тепер підберемо произвольные постійні An і Bn так, щоб задовільнялась крайова умова (2). Підставляючи в рівність (9) r=R, на основі умови (2) дістанемо:

.(10)

Щоб мала місце рівність (10), потрібно, щоб функція f() розкладалась в ряд Фур’є в інтервалі (-,), та щоб AnRn і BnRn були її коефіцієнтами Фур’є. Отже, An і Bn мали визначатись по формулам:

.(11)

Отже, ряд (9) з коефіцієнтами, визначиними по формулам (11), буде рішенням нашої задачі, якщо допускає почленне двухкратне диференціювання по r і . Перетворемо формулу (9). Підставляючи замість An і Bn їх вирази (11) і виконуючі тригонометричні перетворення, дістанем:

.(12)