Основні задачі математичної фізики

Звідси випливає, що u не залежить від :

u=f*(),

де f*() – довільна функція .Інтегруючи останню рівність по  при фіксованому , маємо

.

де f1() і f2() – довільні двічі диференціюючі функції аргументів  і .

Враховуючи, що =х-at і =x+at, дістаєм загальне рішення даного рівняння у вигляді

u(x,t)=f1(x-at)+f2(x+at).

Визначимо функції f1 і f2 так, щоб функція u(x,t) задовільняла початковим умовам:

u(x,t)=f1(x)+f2(x)=(x),

ut(x,0)=-af1(x)+af2(x)=(x).

Таким чином, для знаходження функцій f1 і f2 маємо систему рівнянь

f1(x)+f2(x)=(x),

-af1(x)+af2(x)=(x).

Інтегруючи другу рівність, отримаємо

де х0 і С – постійні. Тоді

f1(x)+f2(x)=(x),

.

Звідси знаходимо

,

і

.

Підставивши у вираз для u(x,t) знайдені значення f1 і f2, отримаємо

,

.

Ця рівність називається формулою Даламбера.