Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі)

Знайдемо похідну

(12.21)

У результаті підстановки функції (12.20) та похідної від неї (12.21) у рівняння (12.14) отримаємо

або

(12.22)

Оскільки функцію можна підібрати довільно (а тоді визначити на основі рівняння (12.14), будемо шукати з рівняння

(12.23)

(при цьому перший доданок зліва у (12.22) перетвориться на нуль). Зауважимо, що це не що інше, як лінійне рівняння (12.15) відносно , розв'язок якого

.

Оскільки нас цікавить лише один який-небудь ненульовий розв'язок рівняння (12.23), то в цій формулі покладемо . Тоді . При цьому рівняння (12.22) спрощується й набуває вигляду , або .

Це - диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними. Звідси

.

Отже, згідно з (12.21) загальний розв'язок рівняння (12.14)

, (12.19а)

де - довільна стала.

Отже, розв'язки (12.19) та цього рівняння збіглися. Зауважимо, що при встановленні типу диференціального рівняння та його розв'язання слід врахувати, що не обов'язково шукається залежність виду ; можна спробувати знайти . Наприклад, диференціальне рівняння

можна подати у вигляді

звідки видно, що воно є лінійним, якщо вважати функцією, а - аргументом. Це ж саме рівняння можна записати й так:

Отже, якщо вважати функцією, а - аргументом, то дістаємо лінійне рівняння.

Розглянемо деякі приклади розв'язання лінійних диференціальних рівнянь першого порядку.

Приклад 1. Розв'язати лінійне рівняння :

а) методом варіації довільної сталої;

б) підстановкою .

Р о з в ' я з о к. а) Згідно з методом варіації довільної сталої спочатку розв'яжемо відповідне рівняння без правої частини: