Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі)

Означення. Диференціальне рівняння вигляду

(12.25)

називається рівнянням у повних диференціалах, якщо - неперервні диференційовані функції, для яких

виконується співвідношення

, (12.26)

причому та - також неперервні функції.

Покажемо, що коли ліва частина рівняння (12.25) є повним диференціалом деякої функції , то виконується умова (12.26), і навпаки, з виконання умови (12.25) випливає, що ліва частина рівняння (12.25) - повний диференціал (вперше цю умову отримав член Петербурзької академії наук Л.Ейлер (1707-1783)).

Справді, нехай зліва у рівнянні (12.25) стоїть повний диференціал, тобто .

Оскільки

,

маємо

Тоді частинні похідні та визначаються за формулами

.

Оскільки зліва в цих рівностях згідно з умовою записані неперервні функції, то це означає, що й праві частини, тобто та

, також неперервні. Звідси випливає, що , що й доводить рівність (12.26).

Припустимо тепер, що умова (12.26) виконується, і знайдемо функцію , завдяки якій диференціальне рівняння (12.25) можна подати у формі

(12.27)

Оскільки , то інтегруючи, маємо

(12.28)де - абсциса будь-якої точки в області існування розв'язку, а - поки що невідома функція, яка залежить лише від . Знайдемо похідну , користуючись формулою (12.28):

(12.29)

Враховуючи, що і користуючись умовою (12.26) для заміни підінтегральної функції, з (12.29) отримуємо

.

Отже, або

.