Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі)

тих, хто не знає. Припускаючи, що в момент часу про новину дізналося чоловік, приходимо до диференціального рівняння

(12.5)

з початковою умовою ( - коефіцієнт пропорціональності).

Це диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Подамо його у вигляді

.

Загальний інтеграл рівняння

(12.6)

Знайдемо інтеграл у лівій частині рівності (12.6):

(Зауважимо, що ). Загальний інтеграл (12.6) має форму

.

Звідси знаходимо загальний розв'язок :

(12.7)

Для отримання розв'язку задачі Коші покладемо в рівності (12.7) та визначимо довільну сталу (у даному

прикладі зручно шукати не , а ) . Маємо , звідки

(12.8)

Підставимо вираз (12.8) у загальний розв'язок (12.7) і спростимо результат. Отримаємо шуканий частинний розв'язок:

. (12.9)

Його графіком є так звана логістична крива (рис.12.1).

Рис.12.1

Приклад 2 . Нехай відомо, що швидкість хімічної реакції, яка перетворює речовину на речовину , пропорційна добуткові концентрації цих речовин.

Потрібно скласти диференціальне рівняння залежності об'єму речовини від часу .

Нехай об'єм речовини , що бере участь в реакції, дорівнює . Тоді загальний об'єм . Приріст у разі переходу речовини в речовину має вигляд: , а швидкість реакції буде . Згідно з умовою

(12.10)

(коефіцієнт пропорційності), оскільки та - концентрації речовин та Враховуючи, що рівняння (12.10) запишемо у вигляді