Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі)

Приклад 3. Покажемо, як розв'язується рівняння, наведене в прикладі 3, за допомогою полярних координат.

Перейдемо до нових змінних та за формулами

.

Звідси

Отже,

.

Права частина рівняння у нових координатах набуває виглядуПрирівнюючи праву і ліву частини рівняння, дістанемо

.

На основі властивості пропорції позбудемося дробів:

Спрощуючи це рівняння, отримаємо

.

Відокремлюємо змінні

.

Інтегруємо

.

(довільну сталу позначили як ) . Звідси .

Повернемось до старих змінних та й спростимо вираз. Отримаємо шуканий загальний інтеграл

або .

Зауваження. До однорідних рівнянь зводяться диференціальні рівняння вигляду

(12.12)

1. У разі, коли , слід виконати заміну змінних, де і - сталі, підібрані таким чином, щоб рівняння (12.12) перетворилося на однорідне рівняння вигляду

.

Оскільки та ,

сталі і слід підібрати так, щоб виконувались рівняння

Ця система має єдиний розв'язок (згідно з умовою ).