Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі)

Лінійними диференціальними рівняннями першого порядку називається рівняння, лінійне відносно невідомої функції та її похідної:

(12.14)

де - задані неперервні функції від .

Якщо, зокрема, , то рівняння

(12.15)

називається лінійним однорідним (або без правої частини), а рівняння (12.14), в якому - неоднорідним.

Однорідне рівняння (12.15) - це диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними. Відокремлюємо змінні:

.

Загальний інтеграл рівняння

,

а загальний розв'язок однорідного рівняння (12.15)

(12.16)

Щоб відшукати загальний розв'язок рівняння (12.14), використаємо так званий метод варіації довільної сталої Лагранжа. Суть його полягає в тому, що розв'язок рівняння (12.14) шукатимемо у вигляді, аналогічному (12.16), але вважатимемо у цій формулі не сталою, а невідомою функцією від :

(12.17)

Підставимо (12.17) у рівняння (12.14):

,

або

З останнього рівняння знаходимо :

, (12.18)

де - довільна стала. Отже враховуючи (12.18), загальний розв'язок (12.17) рівняння (12.14) набуває вигляду

(12.19)

Зауваження. Метод варіації довільної сталої для рівняння (12.14) можна реалізувати на практиці таким чином.

Розв'язок рівняння (12.14) шукаємо у вигляді добутку двох невідомих функцій :

(12.20)