Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі)

Звідси , або ,

де - довільна стала. Підставляючи знайдену функцію у вираз (12.28), отримаємо

.

Це дозволяє записати загальний розв'язок рівняння (12.25) (або те ж саме рівняння (12.27)) у вигляді:

- довільна стала.

Зауваження. На практиці зручніше продиференціювати

рівність (12.28) за , потім замінити відомою функцією , а далі - визначити та .

Приклад . Розв'язати рівняння

Р о з в ' я з о к. Позначимо

і переконаємося, що це - рівняння в повних диференціалах. Справді, частинні похідні і рівні між собою:

Отже, умова (12.26) виконується. Для знаходження функції про інтегруємо рівність .

Маємо .

Звідси визначимо похідну: та прирівняємо її до відомої функції :

.

Отже, і, ,

де - довільна стала.

Функцію знайдено:

.

Загальний інтеграл рівняння має вигляд .

Розглянемо питання про можливість зведення рівняння виду (12.25), для якого не виконується умова (12.26), до рівняння в повних диференціалах. Домножимо обидві частини рівняння (12.25) на деяку функцію таку, що рівняння

(12.30)

буде рівнянням у повних диференціалах. Згідно з доведеним для цього необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність, аналогічна рівності (12.26):

,

або