Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі)

.

Зведемо подібні члени

.

Поділивши обидві частини цього рівняння на та врахувавши, що , отримаємо

(12.31)

Це рівняння в частинних похідних відносно . Розв'язати його - це завдання не простіше, ніж інтегрування вихідного рівняння. Розглянемо два частинні випадки, коли рівняння (12.31) спрощується і його можна розв'язати.

1) Нехай шуканий інтегральний множник залежить лише від : .

Тоді , і рівняння (12.31) набуває вигляду

(12.32)

Якщо права частина цього рівняння не залежить від , то воно легко інтегрується.

2) Якщо інтегральний множник є функцією тільки від : , то , а .

Тоді рівняння (12.31) можна подати таким чином:

(12.33)

Якщо вираз справа залежить лише від , рівняння (12.33) інтегрується.

Приклад 2. Розв'язати рівняння . Зауважимо, що в розглянутому випадку .

Р о з в ' я з о к. Знайшовши частинні похідні

переконуємося, що умова (12.26) не виконується.

Спробуємо підібрати інтегральний множник виду . Рівняння (12.32) набуває вигляду

.

Вираз у правій частині останньої рівності залежить і від , і від . Отже, інтегрального множника вигляду не існує.

Припустимо, що , і складемо рівняння (12.33):

.

Оскільки вираз у правій частині цієї рівності залежить від , рівняння інтегрується. Знайдемо один з його частинних розв'язків:

, звідки . Перевіримо, чи множник знайдено правильно. Для цього домножимо обидві частини вихідного рівняння на та переконаємося, що коефіцієнти отриманого рівняння задовольнятимуть умові (12.26). Маємо