Множина комплексних чисел

tg φ = 1, φ = + 2kπ (k = 0, 1, 2, …).

Тригонометрическая форма комплексного числа

Рассмотрим комплексное число

z = x + iy. (20)

Подставляя сюда выражения для x и y через модуль и аргумент комплексного числа (см. форму¬лы (19)), получаем z = r cosφ + ir sinφ, или

z = r (cosφ + isinφ) (r 0). (21)

Запись комплексного числа z в виде (21) называют тригонометрической формой этого числа.

Замечание. Не всякая запись комплексного числа через тригонометрические функции является тригонометрической формой этого числа. Например, запись числа ί в видеi = cos + isin , или i = (-1)(cos + isin )

не является тригонометрической формой числа i: в первом случае у косинуса и синуса разные аргу¬менты, во втором - имеется отрицательный множи¬тель. Поскольку аргументами комплексного числа i являются числа π/2 + 2kπ (k = 0, ±1, ±2, ...) и только они, и |i| = 1, то тригонометрическая форма числа i имеет вид

i = cos ( + 2kπ) + isin ( + 2kπ) (k – любое целое число).

Очевидно, что

r (cosφ + isinφ) = r (cos(φ +2kπ) + isin(φ +2kπ)).

Два комплексных числа, заданных в тригоно¬метрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на величину, кратную 2π. Следовательно, если

r1 (cosφ1 + isinφ1) = r2 (cosφ2 + isinφ2), (22)

то

r1 = r2, φ2 = φ1 + 2kπ (k = 0, ±1, ±2, ...). (23)

Если комплексное число z = x + iy задано в три¬гонометрической форме (21), то комплексное число = x – iy записывается в форме

= r (cos(-φ) + isin(-φ)),

поэтому

|z| = | |, argz = -arg ,

т. е. при переходе от числа z к комплексно сопряженному числу модуль не меняется, а аргу¬мент изменяет лишь знак (см. рис. 2).

Покажем, как умножать и делить комплексные числа, заданные в тригонометрической форме. Пусть даны два комплексных числа

z1 = r (cosφ + isinφ) , z2 = ρ (cosψ + isinψ), (24)