Множина комплексних чисел

Таким образом, каждая комплексная функция реализует однозначное в одну сторону отображение одного множества на другое. Благодаря этому комплексные функции находят важные применения таких науках, как гидродинамика и аэродинами¬ка, поскольку с их помощью удобно описывать дви¬жение объема жидкости (или газа).

С помощью теории функций комплексной пере¬менной доказана следующая важная теорема, которую долгое время называли основной теоремой алгебры.

Теорема: Всякий многочлен с любыми число¬выми коэффициентами, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

Рассмотрим многочлен степени n (n ≥ 1):

f(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an .(36)

Корнем многочлена называют такое число с (в об¬щем случае комплексное: с = a + bi), которое обра¬щает данный многочлен в нуль:

a0cn + a1cn-1 + … + an-1c + an ≡ 0.

Другими словами, теорема утверждает, что алге¬браическое уравнение n-й степени (n ≥ 1)

a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an = 0 (37)

имеет хотя бы один корень.

Отсюда следует, что любое алгебраическое урав¬нение n-й степени имеет ровно n корней. Действи¬тельно, если многочлен f(х) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an , имеет корень α1, то его можно пред¬ставить в виде f(х) = (х – α1)φ1(x), где φ1(x) – много¬член степени n – 1. Этот многочлен по данной теоре¬ме имеет хотя бы один корень. Обозначим корень многочлена φ1(x) через α2, тогда φ1(x) = (х – α2)φ2(x), где φ2(x) – многочлен степени n – 2. Продолжая аналогичные рассуждения, находим, что f(x) = a0(x – a1)(x – a2)...(x – an). Отсюда видно, что f(αi) = 0 при i – 1, 2, ... , n, т. е. αi — корни многочлена (36) или уравнения (37). Таким образом, уравне¬ние (37) имеет n корней.

Отметим, что комплексные корни всякого много¬члена с действительными коэффициентами всегда сопряжены: если с = a - bi – корень уравнения, то с = а-bi – также корень данного уравнения. Ины¬ми словами, комплексные корни такого многочлена входят парами во множество его корней. Отсюда следует, что любое алгебраическое уравнение не¬четной степени имеет хотя бы один действительный корень.

Замечание. Не всякое уравнение имеет корни, действительные или комплексные. Например, транс¬цендентное (неалгебраическое) уравнение аx = 0 (а > 0) не имеет никаких корней (ни действительных, ни комплексных).Простейшим примером функции комплексной переменной является линейная функция w = z + c, где с – постоянная (комплексное число). Эта функ¬ция осуществляет преобразование плоскости z на плоскость w. Каждой точке z она ставит в соответ¬ствие точку w = z + с. Очевидно, от точки z можно перейти к точке w путем сдвига (параллельного пе¬реноса) на вектор с, т. е. посредством перемещения точки z по направлению вектора с на расстояние, равное длине этого вектора (рис. 5). Путем подхо¬дящего выбора числа с можно получить любой сдвиг. Например, если точку z нужно сдвинуть в положи¬тельном направлении оси Ox на две единицы, то надо взять с = 2; точка w = z + 2 будет искомой (рис. 6). Если же точку z нужно сдвинуть в отрицательном направлении оси Oy на три единицы, то берем c = -3i; точка w'= z + (-3i) = z – 3i будет искомой (рис. 6). Итак, функция w = z + c осуществляет преобразование (отображение) плоскости, которое называют сдвигом на вектор с.

Геометрическое преобразование, при котором ве¬личины углов между любыми двумя линиями, содер¬жащимися в преобразуемой фигуре, не изменяются, называют конформным преобразованием или кон¬формным отображением. (Под углом между двумя линиями, пересекающимися в некоторой точке, по¬нимают угол между касательными к этим линиям, проведенными в этой точке.) Примерами конформ¬ных отображений могут служить сдвиг (параллель¬ный перенос), гомотетия и поворот. Таким образом, можно сказать, что функция w = z + с осуществляет конформное отображение; это одна из таких функций.