Множина комплексних чисел

Комплексные числа и соответствующие им точки комплексной плоскости обозначают буквой z и пишут z = x + iy, где x – действительная часть (x = Rez), y – мнимая часть (y = Imz).

Модуль и аргумент комплексного числа

Комплексное число z = x + iy изобра¬зим точкой z комплексной плоскости; точка z имеет координаты (x, y). Рассмотрим радиус-вектор этой точки (рис. 2). Модулем комплексного числа z называют длину г радиус-вектора данной точки. Модуль комплексного числа z обозначают через |z|. Следовательно, по определению

r = |z|, |z| 0. (17)

Поскольку г = (получено из формулы для расстояния между двумя точками на плоскости: 0 (0, 0) и z (x, y)), то

|z| = . (18)

Эта формула выражает мо¬дуль комплексного числа z = x + iy через его действительную и мнимую часть. Формула (18) имеет простой геометрический смысл: она выражает длину гипотенузы прямо¬угольного треугольника с катетами |х| и |y| (см. рис. 2).

Отметим, что модуль комплексного числа являет¬ся неотрицательным действительным числом.

Аргументом комплексного числа z = x + iy назы¬ваютвеличину угла φ наклона радиус-вектора к положительной полуоси Ox. Аргумент комплексного числа z обозначают так: Argz. При изменении z этот угол может принимать любые действительные значения (как положительные, так и отрицательные; последние отсчитываются по часо¬вой стрелке). Если модули двух комплексных чисел равны, а значения угла φ отличаются друг от друга на 2π, или на число, кратное 2π, то точки, соответст¬вующие этим комплексным числам, совпадают; комп¬лексные числа в этом случае равны между собой. Следовательно, аргумент комплексного числа z имеет бесконечное множество значений, отличающихся друг от друга на число, кратное 2π. Аргумент не опре¬делен лишь для числа 0, модуль которого равен нулю: |0| =0. Среди значений аргумента комплексного чи¬сла z 0 существует одно и только одно значение, за¬ключенное между —π, +π, включая последнее значение. Его называют главным значением аргумен¬та и обозначают argz. Итак, модуль и аргумент комплексного числа z удовлетворяют следующим соотношениям:

|z| 0, -π < argz π, Argz = argz + 2πn (n = 0, 1, 2, …).

Главное значение аргумента положительного действительного числа равно 0, главное значение аргумента действительного отрицательного числа равно π, главное значение аргумента мнимого числа bi (b > 0) равно π/2, главное значение аргумента мнимого числа –bi (b > 0) равно –π/2.

Выразим действительную и мнимую части комп¬лексного числа z = x + iy через его модуль и аргу¬мент. Пусть точка z изображает число z = x + iy (рис. 2). Из прямоугольного треугольника ОAz получаем

x = r cosφ, y = r sinφ, (19)

где r = |z|. Отсюда и из формул (17), (18) следует:

cosφ = , sinφ = , tgφ = .

Например: 1) найдём аргумент числа z = 1 – i. Так как Re z = 1, Im z = -1, то точка z = 1 – i лежит в IV четверти. Поэтому достаточно найти такое решение одного из последних уравнений , которое является углом в IV четверти. Рассмотрим уравнение cosφ = . Находим

cos φ = φ = + 2kπ (k = 0, 1, 2, …);

2) найдём аргумент числа -1- i. Точка -1-i лежит в III четверти. Найдём такое решение уравнения tg φ = , которое является углом в III четверти. Находим