Множина комплексних чисел

Формула (30) справедлива и для целых отрица¬тельных показателей. В самом деле, так как z-n = (z-1)n , то достаточно применить формулу (30) к числу z-1, тригонометрическая форма которого определяется формулой (29).

Формулу (30) называют формулой Муавра. В частном случае, при r = 1, из этой формулы получаем

(cos φ + isin φ)n = cos nφ + isin nφ.

ю;

Извлечение корня n-й степени из комплексного числа

Извлечь корень n-й степени из комплек¬сного числа z – это значит найти такое комплексное число α, что αn = z. Представим числа z и α в три¬гонометрической форме: z = r (cosφ + isinφ), α = ρ (cosψ + isinψ), где r = |z|, φ = Argz; ρ = |α|, ψ = Αrgα. Обозначим корень n-й степени из комплексного числа z через , тогда по определению

Применяя формулу (30), получаем

На основании формул (22) и (23) из этого ра¬венства следует, что

ρn = r, nψ = φ + 2kπ (k = 0, ± 1, ± 2, …), откуда

(k = 0, ± 1, ± 2, …).(31)Полученные формулы определяют модуль ρ и аргумент числа α – корня степени n из комплексного числа z. Обратно, если дано комплексное число , то при любом целом k,положительном или отрицательном, n-я степень этого числа равна числу z = r(cosφ + isinφ). Итак,

(32)

где - арифметическое значение корня из дейст¬вительного неотрицательного числа, k – любое целое число. Так как k может принимать любые значения (положительные и отрицательные), то может пока¬заться, что корень n-й степени из комплексного числа z имеет бесконечное множество различных значений. На самом деле различных значений будет только n. Полагая

k = 0, 1, 2, … , n – 1, (33)

получаем следующие n значений корня:

Докажем, что среди значений αi (i = 0, 1, ... , n – 1) нет равных между собой. Пусть p и q – любые различные числа из чисел k = 0, 1, 2, ... , n – 1, тогда

Поскольку не является целым числом (p < n, q < n), то число 2π не будет кратным 2π. Та¬ким образом, комплексные числа

не равны между собой, потому что разность их аргументов не будет кратной 2π (см. (22) и (23)).

Предположим, что k – любое натуральное число, большее n – 1. Пусть k = nq + r, где 0 ≤ r ≤ n – 1, тогда , т. е. значение аргумента при этом значении k отли¬чается от значения аргумента при k = r на число, кратное 2π. Следовательно, при этом значении k по¬лучаем такое же значение корня, как и при k = r, т. е. при значении k=0, 1, 2, ..., n – 1.

Таким образом, извлечение корня n-й степени из комплексного числа z всегда возможно и дает n различных значений, определяемых формулами (34). Из этих формул видно, что все n значений корня n-й степени из комплексного числа z расположены на окружности радиуса с центром в точке нуль и делят эту окружность на n равных частей.

Отметим, что корень n-й степени из действитель¬ного числа a также имеет n различных значений. Среди этих значений действительных будет два, одно или ни одного, в зависимости от знака a и чет¬ности n. Корень n-й степени из нуля имеет только одно значение, равное нулю, т. е. .