Множина комплексних чисел

(а, 0) = а, (5)

т. е. не различать упорядоченную пару (a, 0) дейст¬вительных чисел и действительное число a. В част¬ности, нуль (0, 0) и единица (1, 0) множества комп¬лексных чисел оказываются обычными действитель¬ными числами 0 и 1.Покажем, что среди комплексных чисел содер¬жится корень уравнения х + 1 = 0. Корнем уравне¬ния х + 1 = 0 является такое число, квадрат кото¬рого равен действительному числу —1. Это число определяется упорядоченной парой (0, 1). В самом деле, применив формулу (2), получим

(0, 1) (0, 1) = (-1, 0) = -1.

Обозначим эту упорядоченную пару через i, т. е. i = (0, 1), тогда

i = - 1, i = , (6)

число ί называют мнимой единицей.

Найдем произведение действительного числа b на упорядоченную пару (0, 1) = ί — мнимую еди¬ницу:

bi = (b, 0)(0, 1) = (0, b), ib = (0, 1)(b, 0) = (0, b). (7)

Если (а, b) - произвольная упорядоченная пара, то из очевидного равенства (а, b) = (a, 0) + (0, b) и формул (5), (7) получаем

(a, b) = a + bi. (8)

Следовательно, комплексное число α = (a, b) мо¬жет быть записано в виде a + bi = a + ib, где a и b — действительные числа, ί — мнимая единица, определяемая соотношением (6). Выражение a + bi называют алгебраической формой комплексного числа. Число a называют действительной, число b — мнимой частью комплексного числа a + bi. Обозначая комплексное число a + bi одной буквой α, пишут:

a = Reα, b = Imα,

где Re — начальные буквы латинского слова realis (действительный), Im - начальные буквы латинского слова imaginarius (воображаемый). Кроме указанных обозначений, употребляются также и такие: a = R(α), b = I(α), где (a, b) = a + bi. Числа вида bi называют чисто мнимыми числами или просто мнимыми.

85

Комплексное число a + bi считают равным нулю тогда и только тогда, когда а = 0, b = 0:

. (9)

Два комплексных числа a + bi и c + di считают равными тогда и только тогда, когда равны между собой соответственно их действительные и мнимые части, т. е. a = с, b = d:

. (10)

Комплексное число a - bi называют сопряжен¬ным комплексному числу a + bi. Обозначим число a - bi буквой = a + bi. Числу будет сопряжено число a – (-bi) = a + bi = α. Вследствие этого числа α = a + bi и = a - bi называют комп¬лексно сопряженными числами. Действительные числа и только они сопряжены сами себе. В самом деле, если α = a, где a - действительное число, то из формул (5) и (8) имеем: α = a + 0i = a, = a – 0i = a, т. е. α = .

Например: комплексному числу 3 + 5i сопряжённым будет 3 – 5i ;