Множина комплексних чисел

Рассмотрим важный частный случай извлечения корня, а именно извлечения корня n-й степени из числа 1. Представляя это число в тригонометри¬ческой форме 1=cos0+isin0 и применяя форму¬лу (34), получаем n значений корня из единицы:

, k = 0, 1, 2, … , n – 1.(35)

На комплексной плоскости корни n-й степени из единицы изображаются точками, расположенными на окружности радиуса R = 1 и делящими ее на n равных дуг. Одной из таких точек будет точка, изображающая число 1.

Например: найдем все значения корня шестой степени из единицы. По формуле (35), которая в данном случае принимает вид

k = 0, 1, 2, 3, 4, 5,

получаем шесть следующих значений:

Эти значения изображаются вершинами правиль¬ного шестиугольника, вписанного в единичную окружность (рис. 3).

Где применяются комплексные числа?

В течение последних двухсот лет комплексные числа находят многочисленные, а иногда и совершенно неожиданные применения. Так, например, с помощью комплексных чисел Гаусс на¬шел ответ на чисто геометрический вопрос: при каких натуральных n циркулем и линейкой можно по¬строить правильный n-угольник? Из школьного кур¬са геометрии известно, как циркулем и линейкой по¬строить некоторые правильные многоугольники: правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник (его сторона равна радиусу описан¬ной около него окружности). Более сложным являет¬ся построение правильных пятиугольника и пятнадцатиугольника. Научившись строить эти правильные многоугольники, легко перейти к построению соответ¬ствующих многоугольников с удвоенным числом сторон: восьмиугольника, десятиугольника и т. п. Все эти задачи на построение были решены еще в Древней Греции. Однако, несмотря на огромные усилия мно¬гих замечательных древнегреческих геометров и дру¬гих ученых, никому не удалось построить ни правиль¬ный семиугольник, ни правильный девятиугольник. Не удалось также осуществить построение пра¬вильного р-угольника ни при каком простом числе р, кроме p = 3 и p = 5. Более двух тысяч лет никто не мог продвинуться в решении этой проблемы. В 1796 г. Карл Фридрих Гаусс, 19-летний студент-математик Геттингенского университета, впервые доказал воз¬можность построения правильного семнадцатиугольника с помощью циркуля и линейки. Это было одно из самых удивительных открытий в истории матема¬тики. В течение нескольких последующих лет Гаусс полностью решил проблему построения правильных n-угольников.

Гаусс доказал, что правильный N–угольник с не¬четным числом сторон (вершин) может быть по¬строен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда число N является простым числом Ферма или произведением нескольких различных простых чисел Ферма. (Числами Ферма называют числа вида Fn = + 1 • При n = 0, 1, 2, 3, 4 эти числа являются простыми, при n = 5 число F5 будет состав¬ным. Из этого результата следовало, что построение правильного многоугольника невоз¬можно при N = 7, 9, 11, 13.Легко заметить, что задача о построении пра¬вильного n-угольника равносильна задаче о делении окружности радиуса R = 1 на n равных частей. Выше было показано, что корень n-й степени из единицы имеет точно n значений; почти все эти значения (за исключением одного, двух) являются комплексны¬ми. Точки, изображающие корни n-й степени из еди¬ницы, располагаются на окружности радиуса R = 1 и делят ее на n равных дуг, т. е. являются вершина¬ми правильного n-угольника, вписанного в эту окруж¬ность (см. рис. 3). При доказательстве возможности построения правильного 17-угольника Гаусс поль¬зовался свойствами корней 17-й степени из единицы.

В XVIII в. возникла новая область математики – теория функций комплексной переменной. Введем по¬нятие такой функции. Рассмотрим две комплексные переменные z = x + iy и w = u + iv, где x, y, u, v – действительные переменные, i = - мнимая еди¬ница. Зафиксируем две комплексные плоскости Oxy (плоскость z), O'uv (плоскость w) с выбранными на них системами прямоугольных координат и два множества на этих плоскостях: D и D' соответствен¬но (рис. 4).

Если каждой точке z D по некоторому закону f ставится в соответствие единственная точка w D', то говорят, что w есть функция от z и пишут: w = f(z). Множество D в этом случае называют об¬ластью определения функции w = f(z), значения кото¬рой принадлежат области D'. Если множество значе¬ний f(z) исчерпывает все множество D', то D' называ¬ют множеством значений (областью изменения) функции f(z). B таком случае пишут: D'= f(D). Мно¬жества D и D' можно изображать на одной комплекс¬ной плоскости. Каждое из множеств D и D' может совпадать со всей плоскостью.