Множина комплексних чисел

Рассмотрим множество чисел, каждое из которых определяется упорядоченной парой дей¬ствительных чисел. Действительные числа будем обозначать буквами а, b, с, ..., а упорядоченные пары действительных чисел — буквами α, β, γ, ... и соот¬ветственно записывать α=(a, b), β =(c, d) и т. д. Такую упорядоченную пару действительных чисел (a,b) назовем комплексным числом.

Определим действия над упорядоченными парами действительных чисел. Суммой двух упорядоченных пар α= (а, b) и β = (с, d) назовем упорядоченную пару γ = (a+c, b+d):

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (1)

а произведением указанных пар — упорядоченную пару δ = (ас – bd, ad + bc):

(a, b)(c, d) = (ac – bd, ad + bc). (2)

Действия сложения и умножения упорядоченных пар действительных чисел определены аксиома¬тически.

Для этих действий существуют обратные дей¬ствия — вычитание и деление (кроме деления на нуль). Разностью α — β двух упорядоченных пар α = (a, b) и β = (с, d) назовем такую упорядочен¬ную пару (х, y), для которой (с, d) + (x, y) = (a, b). Принимая во внимание равенство (1), получаем с + х = a, d + y = b, откуда x = а – c, y = b – d. Разностью α — β упорядоченных пар α = (а, b) и β = (с, d) является упорядоченная пара (а – c, b – d):

(a, b) – (c, d) = (a – c, b – d). (3)

Нулем служит пара 0 = (0, 0). Упорядоченной парой, противоположной для упорядоченной пары α = (а, b) будет, пара - α = ( -а, -b), так как α + (-α) = (а, b) + (-а, -b) = (0,0) = 0.

Частным от деления упорядоченной пары α = (а, b) на упорядоченную пару β = (с, d), где β 0 или с + d 0 (т. е. хотя бы одно из чисел с, d отлично от нуля) должна быть упорядоченная пара (x, y) такая, что (с, d) (x, y) = (а, b). Отсюда на основании равенства (2) получаем cx – dy = a, cy – dx = b. Из этой системы уравнений находим x и y:

x = , y = .

Итак, если β 0, то частное α/β двух упорядоченных пар α = (а, b), β = (с, d) существует и определя¬ется формулой:

= . (4)

Положив в этой формуле β = α (т. е. c = a, d = b), найдем, что единицей при умножении упорядоченных пар служит упорядоченная пара (1, 0). Полагая α = 1 = (1, 0), из формулы (4) получаем, что при β 0 упорядоченной парой, обратной для β, будет упорядоченная пара

.

Таким образом, построено множество чисел, дей¬ствия над которыми определяются по формулам (1) - (4). Это множество чисел называют множест¬вом комплексных чисел.

Докажем, что множество комплексных чисел в качестве своего подмножества содержит все дейст¬вительные числа. Рассмотрим упорядоченные пары вида (a, 0). Каждой паре (a, 0) поставим в соот¬ветствие действительное число а, в результате полу¬чим взаимно однозначное соответствие между мно¬жеством рассматриваемых упорядоченных пар и множеством всех действительных чисел. Применяя к указанным упорядоченным парам формулы (1) и (2), находим;

(а, 0) + (b, 0) = (а + b, 0); (а, 0) (b, 0) = (ab, 0).

Эти равенства означают, что упорядоченные пары вида (а, 0) складываются и умножаются так же, как действительные числа. Следовательно, множест¬во указанных упорядоченных пар действительных чисел, рассматриваемое как подмножество множест¬ва комплексных чисел, по своим алгебраическим свойствам не отличается от множества действитель¬ных чисел. Это позволяет положить