Множина комплексних чисел

где r = |z1|, φ = Argz1, ρ = |z2|, ψ = Argz2.

Пользуясь правилами действий над комплексны¬ми числами в алгебраической форме, находим

z1z2 = r (cosφ + isinφ) ρ(cosψ + isinψ) = rρ(cosφcosψ + icosφsinψ + isinφcosψ + i2sinφsinψ ) = rρ(cosφcosψ – sinφsinψ) + i(cosφsinψ + sinφcosψ)),

или

z1z2 = rρ (cos(φ + ψ) + isin(φ + ψ) ). (25)

Из полученной тригонометрической формы произ¬ведения двух комплексных чисел следует, что

|z1z2| = rρ или |z1z2| = |z1| |z2|, (φ + ψ) = Arg(z1z2),

т. е. модуль произведения равен произведению модулей множителей, а сумма аргументов множителей является аргументом произведения.

Предположив, что z2 0, т. е. ρ 0, найдем частное двух комплексных чисел z1 и z2 , заданных формулами (24):

(27)

φ – ψ = Arg . (28)

Формула (27) означает, что модуль частного равен модулю делимого, деленному на модуль де¬лителя. Формула (28) показывает, что разность аргументов делимого и делителя является аргу¬ментом частного двух комплексных чисел.

Формула (26) позволяет найти модуль и аргумент комплексного числа, обратного данному числу. Полагая в этой формуле z1 = l = l (cos0 + isin0), z2 = z = r (cosφ + isinφ), получаем

z-1 = = (cos(0-φ) + isin(0-φ)),

z-1 = r-1 (cos(-φ) + isin(-φ)), (29)

откуда |z-1| = r-1, argz-1 = -φ, т. е.

|z-1| = |z|-1, argz-1 = -argz.

Таким образом, модуль комплексного числа z-1, обратного числу z, равен обратной величине модуля числа z, а его главное значение аргумента отлича¬ется от главного значения аргумента z лишь знаком.

Рассмотрим вопрос о возведении в степень комплексного числа z = r(cos φ + isin φ), заданного в три¬гонометрической форме. Если n — целое положитель¬ное число, то с помощью формулы (25) получаем следующую формулу

zn = (r (cosφ + isinφ))n = rn (cosnφ + isinnφ), (30)

откуда |zn| = rn, Arg zn = nφ.

Итак, при возведении комплексного числа в натуральную степень модуль возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени.