Матеріали до лекцій з теми “Комплексні числа”

Приклади:

а) 2(cos π\3+ ί sin π\3) = 2(1\2+3ί \2) = 1 +3ί;

б) 4(cos 2π\3 + ί sin 2π\3) = 4(-1\2+3ί \2) = -2 + 23ί.

г) Множення і ділення комплексних чисел, записаних в тригонометричній формі.

Тригонометрична форма запису комплексних чисел виявляється дуже зручною під час множення і ділення чисел. Нехай Z₁=r₁(cos α₁ + ί sin α₁), Z₂=r₂(cos α₂ + ί sin α₂) – два числа, що записані в тригонометричній формі. Тоді

Z₁ Z₂= r₁r₂( cos α₁ cos α₂ - sin α₁ sin α₂ + ί sin α₁cos α₂ + ί sin α₂ cos α₁), або Z₁ Z₂= r₁r₂( cos (α₁ + α₂) + ί sin (α₁ + α₂)). Отже, справедливим є твердження: під час множення комплексних чисел у тригонометричній формі модулі їх перемножуються, а аргументи додаються. Для знаходження частки множимо чисельник і знаменник на число, спряжене до знаменника:Z₁\Z₂=r₁(cos α₁ + ί sin α₁)(cos α₂ - ί sin α₂)\ r₂(cos α₂ + ί sin α₂)(cos α₂ - ί sin α₂) = r₁\r₂х(cos (α₁ - α₂) + ί sin (α₁ - α₂))\( cos² α₂ + ί sin ²α₂)= r₁( cos (α₁ - α₂) + ί sin (α₁ - α₂))\r₂.

Отже, під час ділення комплексних чисел їх модулі діляться, а аргументи віднімаюьтся.

Приклади. Виконати множення і ділення комплексних чисел, записаних у тригонометричній формі.

а) Z₁=3(cos 7° + ί sin 7°); Z₂=8(cos 15° + ί sin 15°);

д) Подаємо без доведення правила піднесення до степеня комплексного числа, записаного в тригонометричній формі.

При будь – якому натуральному n

(cos α + ί sin α)ⁿ = cos nα + ί sin nα.

Це твердження називається формулою Муавра.

Приклади. Виконати дії піднесення до ступеня даного комплексного числа.

Z=3-ί. Обчислити Z.

Модуль даного числа дорівнює (3)²+1 = 2, аргумент α = -π\6, отже модуль числа Z дорівнює 2, аргумент 9α = -9π\6 = -3π\2. Таким чином,

(3-ί) = 2 (cos (-3π\2)+ ί sin(-3π\2)) = 512ί.

є) добування кореня з комплексного числа.

Корінь n – го ступеня з числа Z=r(cos α + ί sin α) обчислюють за формулою

ω = r(cos ((α + 2 πк)\n) + ί sin ((α + 2 πк)\n)),

де к – деяке ціле число (к є Z).

Підставляючи замість к значення 0, 1, 2…n – 1, дістанемо n різних значень кореня. Так, якщо n = 2, к = 2 матимемо sin ((α + 4 π) = sin α\2 і так далі.