Матеріали до лекцій з теми “Комплексні числа”
паралелограм. Тоді зображенням суми комплексних чисел z₁ і z₂ буде вектор ОВ (діагональ паралелограма) справді, при додаванні векторів їх відповідні координати додають. Тому, якщо вектор ОА₁ має координати (a₁;b₁), а вектор ОА₂ (а₂;b₂), то їх сума – вектор ОВ – матике координати (а₁+а₂;b₁+b₂). Вектор ОВ відповідає комплексному числу (а₁+а₂) + (b₁+b₂), яке є сумою чисел z₁ і z₂.
Нехай, наприклад, треба знайти геометричне зображення різниці z₁ - z₂ комплексних чисел z₁ = 2+3ί та z₂ = -3+2ί. Будуємо вектор ОА, що є зображенням числа z₁, і додаємо до нього вектор ОВ, який зображує число z₂ = -3+2ί, протилежне від’ємнику (малюнок 5). Шукану різницю зображують вектором ОС, що є сумою векторів ОА і ОВ. Йому відповідає комплексне число 5+ί.
Малюнок 5
4. Тригонометрична форма запису комплексних чисел.
Запис числа z у вигляді a + bί називається алгебраїчною формою запису комплексного числа. Крім алгебраїчної форми використовують й інші форми запису комплексних чисел – тригонометрична і показникова. Розглянемо тригонометричну форму запису, а для цього введемо поняття про модуль і аргумент комплексного числа.
а) Модуль комплексного числа.
Побудуємо радіус – вектор ОА, що є геометричним образом комплексного числа z = a + bί (малюнок 6).
Модулем комплексного числа z = a + bί називається значення a² + b². Число r = a² + b² перетворюється на нуль тільки за умов a =0, b =0.
Модуль комплексного числа a + bί позначається символом a + bί. Отже, a + bί = a² + b².
Якщо комплексні числа мають один і той самий модуль, то кінці векторів, які зображують ці числа, лежать на колі з центром у початку координат і радіусом, що дорівнює їх модулю.
Приклади: знайти модулі даних комплексних чисел.
1)5+7ί = 25+49 = 74;
2)–2-3ί = 4+9 = 13;
3)8+0ί=64 = 8;
4)5ί= 5.
Б) аргумент комплесного числа.Нехай радіус – вектор ОА зображує комплексне число z = a + bί (дивіться малюнок 6). Позначимо α кут, який утворює вектор ОА з додатним напрямом осі х. Числове значення кута α, виміряного в радіанах, називається аргументом комплексного числа a + bί. Якщо комплексне число дорівнює нулю, то вектор ОА перетворюється в точку (нуль – вектор), і говорити про його напрям немає сенсу. Тому вважають, що число нуль не має аргументу. Кожне відмінне від нуля комплексне число має нескінченну множину значень аргументу, які відрізняються один від одного на ціле число повних обертів, тобто на величину 2πn, де n – довільне ціле число. Значення аргументу, взяте в межах першого кола, тобто від 0 до 2π, називається головним. Головне значення аргументу комплексного числа можна визначити з рівності tg α = b/a. Справді, за знаками a i b можна встановити, в якій четверті міститься кут α, і за величиною tg α, використовуючи таблиці, знайти величину кута α.
Приклади: знайти головне значення аргументу даних комплексних чисел.