Матеріали до лекцій з теми “Комплексні числа”

Із доведення випливає, що ділення ккомплексних чисел відбувається за таким правилом:

(a + bί)\( c + dί) = (a c +bd)\( c²+d²) + (bc- ad)ί\( c²+d²).

Цей результат можна дістати, помноживши ділене і дільник на число, спряжене до дільника. Покажемо це:

(a + bί)\( c + dί) = (a + bί)( c - dί)\( c + dί)( c - dί) = ((a c +bd) + (bc- ad)ί )\( c²+d²) = (a c +bd)\( c²+d² ) + ((bc- ad)ί)\( c²+d²).

Цим принципом користуються під час розв’язування вправ на ділення комплексних чисел.

Приклади. Знайти частку комплексних чисел.

а) (2+5ί)/(3-2ί) = (2+5ί)(3+2ί)/(3-2ί)(3+2ί) = (-4+19ί)/13 = -4/13+19ί/13;

б) (3+ί)/ί = (3+ί)(-ί)/ί = 1-3ί;

д) піднесення комплексних чисел до степеня.

За означенням, ί¹ = ί, ί²= - 1.

Користуючись рівністю ί²= - 1, визначеко кілька послідовних ступенів уявної одиниці:

ί³ =ί²ί= - 1ί= -ί; ί = ί³ί = -ίί= 1; ί=ίί=ί; ί=ίί=-1; ί=ίί=-ί; ί=-ίί=1.

Оскільки ί=1, то значення степенів періодично повторюються із збільшенням показника на 4. Так, ί²= ί =-1, ί³=ί =-ί, ί =ί = 1і так далі.

Означення. Щоб піднести число до степеня з натуральним показником n, треба показник сепеня поділити на 4 і піднести до степеня, показник якого дорівнює остачі від ділення.

Приклади. Піднести до степеня:

а) ί = ί =ί = ίί =-ί ;

б) ί = ί = ί = ί²= -1;

в) ί =ί = ί = -ί.

Правила піднесення до степеня уявної одиниці застосовується при піднесенні до степеня комплексних чисел.

Приклади. Піднести до степеня двочлени:

1)(2+5ί)² = 4+20ί +25ί² = -21+20ί;

2)(3+2)³ = 27+54ί +36ί²+8 = -9+36ί;

3)(1+ί)² = 1+2ί + ί²= 2ί;

4)(1-ί) ² = 1-2ί + ί²= -2ί;