Матеріали до лекцій з теми “Комплексні числа”

2.Дії над комплексними числами.

а) додавання комплексних чисел.

Означення: сумою двох комплексних чисел a + bί і c + dί називається комплексне число (a + c) + (b + d)ί, дійсна частина якого і коефіцієнт при уявній частині дорівнюють відповідно сумі дійсних частин і коефіцієнтів при явних частинах додатків, тобто (a + bί) + (c + dί) = (a + c) + (b + d)ί.

Приклади. Виконати додавання комплексних чисел:

1)(3+2ί) + (-1-5ί) = (3-1) + (2-5)ί = 2-3ί

2)(4-5ί) + (2-ί) = (4+2) + (-5-1)ί = 6-6ί

3)(2+3ί) + (6-3ί) = (2+6) + (3-3)ί= 8

4)(10 – 3ί) + (-10+3ί) = (10-10) + (-3+3)ί = 0З наведених прикладів випливає, що додавання комплексних чисел ми виконуємо за правилом додавання многочленів. У множині дійсних чисел справедлива рівність a + 0 = a. У множині комплексних чисел нулем є число 0 + 0ί. Справді, яке б не було число , справедлива рівність

(a + bί) + (0+0ί) = (a +0) + (b +0)ί = a + bί

За аналогією з дійсними числами, для комплексних чисел вводиться поняття про протилежні числа: два числа a + bί та -a - bί, сумма яких дорівнює 0, називають протилежними.

Додавання комплексних чилел підлягає переставному та сполучному законам. Доведемо, наприклад, справедливість переставного закону додавання комплексних чисел. Нехай,z₁ = a + bί, z₂= c + dί. Тоді z₁+ z₂ = (a + bί) + (c + dί) = (a + c) + (b+d )ί , z₂+ z₁ = (c + dί) + (a + bί) = (c + a) + (d+b)ί. Оскільки для додавання дійсних чисел справджується переставний закон, тобто a + c = c + a; b+d = d+b, тобто (a + c) + (b+d)ί = (c + a) + (d+b)ί , то z₁ + z₂ = z₂+ z₁, що й треба було довести. Означення суми комплексних чисел поширюється і на випадок трьох і більше доданків.

б) віднімання комплексних чисел.

Віднімання комплексних чисел означають як дію, обернену до додавання, коли за даною сумою й одним з доданків знаходять другий, невідомий доданок.

Означення. Різницею двох комплексних чисел z₁= a + bί і z₂ = c + dί називається таке комплексне число z₃= x+yί , яке в суммі з z₂ дає z₁.

Отже, z₁- z₂= z₃, якщо z₃ + z₂= z₁. можливість дії віднімання комплексних чисел та її однозначність потребує доведення.

Доведемо, що для будь – яких комплексних чисел z₁= a + bί і z₂ = c + dί різниця z₁- z₂ визначена і до того ж однозначно. Доведемо, що існує, і до того ж єдине, комплексне число z₃= x+yί, яке в сумі з z₂ дає z₁.

За означенням дії віднімання, (c + dί) + (x+yί) = a + bί. виконавши додавання в лівій частині рівності, дістанемо:

(c + x) + (d + y)ί = a + bί (1).

З умови рівності двох комплексних чисел маємо:

c + x = a