Матеріали до лекцій з теми “Комплексні числа”

d + y = b

Ця система має розвиток, і до того ж єдиний: x = a - c, y = b – d. Отже, існує , і до того ж єдина, пара дійсних чисел (x, y), яка задовільняє рівняння (1), що і треба було довести. З доведеного випливає, що віднімання комплексних чисел виконують за таким правилом:

(a + bί) – (c + dί) = (a - c) + (b – d)ί

Приклади: Виконати віднімання комплексних чисел.

1)(3+4ί) – (1+2ί) = (3-1) + (4-2)ί = 2 + 2ί;

2)(-5+2ί) – (2+ί) = (-5-2) + (2-1)ί = -7+ί;

3)(6+7ί) – (6-5ί) = (6-6) + (7+5)ί = 12ί;

4)(0,3+2,5ί) – (-0,75+1,5ί) = (0,3+0,75ί) + (2,5-1,5ί) = 1,05+ί;

5)(2-2ί) – (2+3ί) = (2-2) + (-2-3)ί = -5ί;

6)1+1/2) – (1/4-3/5) = (1/3-1/4) + (1/2+3/5) = 1/12 + 11/10.

в) Множення комплексних чисел.

Означення. Добутком двох комплексних чисел a + bί і c + dί називається комплексне число (ac - bd) + (ad + bc)ί . Суть і доцільність цьго означення стане зрозумілою, якщо взяти до уваги, що цей добуток утворений так, як виконується множення двочленів з дійсними коефіцієнтами, а саме (a + bί)( c + dί) = ac + adί + bcί + bdί² = ac + (ad + bc)ί + bdί². Замінюючи, за означенням, ί²на –1, дістанемо: bdί² = -bd . Відокремивши дійсну частину від уявної, остаточно матимемо:

(a + bί)( c + dί) = (ac - bd) + (ad + bc)ί (2)

Формулу (2) не слід намагатися механічно запам’ятати. Під час множення комплексних чисел треба користуватись відомим правилом множення двочленів a + bί і c + dί з наступною заміною ί²на –1.

Приклади: Виконити множення комплексних чисел.

1) (4-5ί)(3+2ί) = 12+8ί -15ί -10ί²= 12+10-7ί =22-7ί;

2)(3-ί)(2+5ί) = 6-2ί+15ί-5 ί²= (6+5) + (15-2)ί;

3)8ίх3ίх3 = -243;

4)(2-ί)(-5) = -10+5ί;

5)(-4-3ί)(-6ί) = -18+24ί.

Дія множення комплексних чисел підлягає основним законам множення, встановленим для дійсних чисел: переставному і сполучному.

Знайдемо добуток двох спряжених комплексних чисел. Маємо: (a + bί)( a - bί) = a² - (bί)² = a² -b²ί² = a² + b², тобто (a + bί)( a - bί) = a² + b².