Матеріали до лекцій з теми “Комплексні числа”

1)z = 1+ί;

Маємо: tg α = 1. Оскільки a = 1 та b = 1, радіус – вектор, який відповідає даному комплексному числу, належить І чверті і тому α - гострий кут. Отже, = π/4.

2)z = -2+23ί;

Маємо: tg α = 23/(-2) = -3. Тут а = -2, b = 23, тобто радіус – вектор, який відповідає даному комплексному числу, належить ІІ чверті. Отже, α = π 2/3.

3)z = -1-ί;

Маємо: tg α = 1. Радіус – вектор, що відровідає даному комплексному числу, належить ІІІ чверті. Отже, α = π 5/4.

4)z = 1-3ί;

Маємо: tg α = -3. Тут а = 1, b = -3. Радіус – вектор, що відповідає даному комплексному числу, належить IV чверті. Отже, = π 5/3.

в) тригонометрична форма комплексного числа.

Нехай вектор ОА є геометричним зображенням комплексного числа z = a + bί (дивіться малюнок 7), модуль якого дорівнює r, а аргумент α. У прямокутному трикутнику АОС а = r cos α, d = r sin α. Підставляючи у запис комплексного числа замість а та d їхні значення, виражені через модуль і аргумент, дістанемо :

Z = r cos α + ίr sin αί = r(cos α + ίsin α).

Вираз r(cos α + sin αί) називається тригонометричною формою комплексного числа. Будь – яке число a + bί, дане в алгебраїчній формі, можна подати в тригонометричній формі. Модуль r знаходимо за формулою r = a² + b², а кут α визначаємо із залежності tg α =b\a, яка випливає з формул cos α = a\r, sin α = b\r.

Приклади:

а) z = -1-3ί;

Маємо: r = (-1)²+(- 3)² = 2; tg α = 3; α = 4π\3 + πn, n є Z.

Через те, що радіус – вектор, який зображує число z = a + bί, розміщений у ІІІ чверті комплексної площини, то за аргумент беремо α = 4π\3 + πn. Отже, -1-3ί = 2(соs 4π\3 + ί Sin 4π\3).

б) z = ί;

Тут а = 0, b = 1, отже, r = 1. Вектор, що зображує число ί, утворює з віссю абсцисс кут π\2 (поясніть чому). Отже, ί = cos π\2 + ί sin π\2.

в) z = 3.

Тут а = 3, b = 0, отже, r = 3.

3 = 3(cos 0 + ί sin 0).

Розглянемо приклади переходи від тригонометричної форми комплексного числа до алгебраїчної.