Задачі з геометрії

Нехай QL = х, РМ = у. Розглянемо прямокутний паралелепіпед з ребрами QL, LM i MP (мал. 5. б)).

В трикутнику QOP маємо QO = , OP = , QP = .

Висота ОМ, проведена з О на QP, рівна (за умовою QP дотикається до сфери радіуса з центром О).

Маємо QN =

Оскільки QN + NP = QP, то .

Після перетворення отримаємо х2у2 + 5у2 +2х2 = 6.

При цій умові потрібно визначити мінімум .

Маємо у2 = е2 – х2 – 15, тому х2(е2 – х2 – 15) + 5(е2 – х2 – 15) + 2х2 – 6 = 0, або х4 + (18 – е2) х2 + 18 – 5е2 = 0.

Отримане рівняння має розв’язок при е2 ≥ (81/5), оскільки при е2 < (81/5) всі доданки лівої частини невід’ємні, а останній доданок додатній.

При е2 = (81/5) знаходимо х = 0, у = , значить, е = і є шукане найменше значення PQ.

Задача 19. В основі чотирикутної піраміди лежить прямокутник, одна сторона якого рівна а, бічні ребра піраміди рівні в.

Знайти найбільше значення об’єму піраміди.

Розв’язання.

Позначимо через х – довжину двох інших сторін прямокутника, який лежить в основі піраміди.

Для обчислення об’єму піраміди скористаємось такою формулою V = 1/3 Sосн * H, де Sосн – площа основи піраміди рівна Sосн = х * а. Знайдемо висоту піраміди.

Запишемо АВ = СД = а; АД = ВС = х.

Розглянемо ∆ДSС. Проведемо висоту SK до сторони ДС. Розглянемо ∆СКS, який є прямокутним. Згідно теореми Піфагора SK2 = SC2 – CK2, тобто SK2 = b2 – (a2/4).

Розглянемо ∆КОS, він прямокутний. За теоремою Піфагора запишемо: SO2 = SK2 – OK2, тобто SO2 = b2 – (a2/4) – (x2/4).

Обчислимо об’єм піраміди.

V =

Об’єм піраміди є найбільшим при х = і рівний

Література

1.І.Ф.Шаригін, В.І.Голубєв. Факультативний курс з математики, Москва, 1991. – 253с.

2.Збірник науково-популярних статей. У світі математики. Київ, 1979. – 312с.