Задачі з геометрії

Вступ

Багато задач геометричного змісту є типовими задачами на екстремум. У цих задачах при виконанні певних умов треба знайти найбільше або найменше значення певної геометричної величини (периметра, площі, об’єму). Кожній з цих величин можна поставити у відповідність певну формулу (іноді не одну), яка виражає шукану величину як функцію інших величин. Проте сама функція в готовому вигляді не дається. Її треба визначити з умов задачі. Часто за умовами задачі можна побудувати функцію не однієї змінної, а двох. Тоді, застосувавши відомі геометричні теореми, одну з цих змінних виключають.

Є чимало елементарних, досить простих і наочних, іноді штучних, способів розв’язання задачі на екстремум, які враховують її особливість. Проте могутній апарат диференціального розв’язання дає загальний спосіб розв’язання задачі на екстремум. Розв’язуючи задачі цим методом, будемо додержуватись такої послідовності дій:

1)вибір незалежної змінної і визначення множини її значень;

2)побудова функції, яка описує ту геометричну величину, оптимальне значення якої треба знайти в задачі;

3)відшукання критичних точок цієї функції і розгляд тих, які належать області визначення функції;

4)з’ясування характеру екстремуму функції в цих точках;

5)обчислення значень функції в цих точках і на кінцях відрізка, що є областю її визначення, і вибір найбільшого або найменшого з них.

Якщо неперервна функція диференційована в інтервалі і має єдиний екстремум. То у випадку максимуму це буде її найбільше значення, а у випадку мінімуму – найменше.

§ 1. Задачі на екстремум в планіметрії

Розглянемо ряд геометричних задач, розв’язання яких зводиться до відшукання екстремуму певних функцій.

Задача 1 З усіх прямокутних трикутників із заданою гіпотенузою С знайти той, у якого найбільша площа.

Розв’язання Якщо х і у - катети трикутника, то , і площа трикутника

Оскільки площа – невід’ємна величина, тому областю визначення функції S(x) є відрізок [0; С]. Функція S(x) набуває найбільшого значення одночасно з функцією f(x)=c2x2-x4. Оскільки

f/(x)=2x(c2-2x2)

то, розв’язавши рівняння

знайдемо критичні точки: ,

х2=0, х3=

Змісту задачі відповідає лише одна з цих точок: . З виразу похідної видно, що при х< , при х < . А це означає, що є точкою максимуму функції f(x), а отже, і функції S(x), причому S . Крім того, S(o)=S(c)=0, тому S(х) у точці набуває найбільшого значення. Але при х= , також і другий катет у= , а це означає, що трикутник рівнобедрений. Отже, з усіх прямокутних трикутників із заданою гіпотенузою рівнобедрений має найбільшу площу.

Зауваження. Розв’язок цієї задачі досить легко знайти геометричним способом. Оскільки вершини прямокутних трикутників з гіпотенузою довжини с лежать на колі, діаметром якого є ця гіпотенуза, то найбільшу площу матиме прямокутний трикутник, у якого найбільша висота. Такою висотою є перпендикуляр до середини гіпотенузи, довжина якого дорівнює половині гіпотенузи.