Задачі з геометрії

Розглянемо два підходи до розв’язку стереометричних задач на знаходження максимумів та мінімумів – геометричний та аналітичний. Геометричні та інші елементарні методи в останній час все більше і більше витісняється методами аналізу, використання яких ми розглянули раніше. Вважають, що оскільки математичний аналіз дозволив за допомогою диференціального числення стандартно розв’язувати задачі на знаходження екстремумів, але немає ніякої необхідності у вивченні геометричних і інших специфічних методів. Необхідно відмітити, що не тільки математичний аналіз використовує різні прийоми для знаходження екстремумів. Можна привести багато прикладів, коли елементарні методи приводять швидше до результату, ніж методи диференціального числення. Наведемо деякі приклади.

Задача 16. Знайти найбільшу площу проекції одиничного куба на площину.

Розв’язання.

В загальному випадку проекцією куба є шестикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні. На малюнку зображена проекція куба і його граней. Площа отриманого шестикутника АА1В1С1СD в два рази більше площі трикутника А1С1D. Але трикутник А1С1D є проекцією правильного трикутника зі стороною .

При проектуванні його площа може лише зменшитися. В максимальному випадку його площа не зміниться. Це має місце, якщо площина проекції паралельна площині правильного трикутника, який ми розглядаємо. Таким чином, максимальна площа проекції куба рівна

Задача 17. Дано куб АВСDА1В1С1D1 з ребром 1. Знайти найменшу відстань від точки М, розміщеної на колі, вписаному в АВСD, до точки N, розміщеної на колі, вписаному навколо трикутника А1ВD.

Розв’язання. Розглянемо дві сфери з центром в точці 0 – центрі куба. Перша дотикається до всіх ребер куба. Її радіус рівний . Друга сфера описана навколо куба. Її радіус - . Два даних кола належать цим сферам. Відповідно, відстань між M i N не може бути менше різниці радіусів цих сфер, тобто менше ніж . Залишилось довести, що ця відстань досягається і для кола першого і другого. Для цього спроектуємо з 0 менше коло на більшу сферу.

Отримаємо на більшій сфері коло, яке перетинається з колом, яке проходить через А1, В і D.

Розглянемо задачу, для розв’язання якої використовується аналітичні елементарні методи.

Задача 18. В правильній трикутній піраміді SABC (S - вершина) довжина ребероснови рівна 6, а довжина висоти піраміди SH рівна . Через точку В перпендикулярно до прямої АS проходить площина, яка перетинає відрізок SH в точці О. Точки Р і Q розміщені на прямих АS і СВ відповідно так, що пряма РQ дотикається до сфери радіуса з центром в точці О.

Знайти найменшу довжину відрізка РQ.

Розв’язання.В правильній піраміді SАВС прямі SА і ВС перпендикулярні. LM - спільний перпендикуляр SА і ВС, розміщений в площині SАH (мал. 5. а)), при цьому точка L – середина ВС. Очевидно, що LM перетинає SH в тій же точці О, що й площину, яка проходить через В перпендикулярно SА. Ця площина є ВСМ.

В трикутнику SLА маємо:

LА = 3 , HА = 2 , LM = , SH = .

Якщо SAH = , то tg = = .

Тоді LM = LA x sin = = ,

LO = LM/sin = .