Задачі з геометрії

Розв’язання.

Нехай у АВС |АВ|=С, а
звідки

З АСВ за тією самою теоремою для |СВ| знаходимо:

Підставимо останнє значення |СВ| у праву частину виразу для бісектриси , отримаємо:

(х)=

Легко переконатись, що

Розв’язавши рівняння

знаходимо критичні точки функції (х):

Рівняння розв’язку не має. Тільки при к=0 х є ( ), тому х= . Але тоді також і
Задача 5. З усіх трикутників із заданими основою с і периметром 2р знайти той, у якого опущена на основу висота є найвищою.

Розв’язання Якщо а, b, с – довжини сторін трикутника, а 2р – його периметр, то .

Нехай . Позначимо |AC|= x, тоді |CB|=2p-c-x. Підставимо ці значення замість a i bу формулу для hc, отримаємо функцію:

.

, тоді коли

Функція досягає найбільшого значення тоді, коли його досягає функція . А це квадратична функція, яку можна подати у такому вигляді:

Тоді є єдиною точкою максимуму функції і . Тому функція у точці набуває найбільшого значення: . Але при , а це означає, що АВС – рівнобедрений. Отже, з усіх трикутників із даними основою і периметром рівнобедрений має найбільшу висоту.

Задача 6. З усіх трикутників із заданими основою с і периметром 2р знайти той, у якого проведена до основи медіана є найменшою.

Розв’язання. Довжина медіани me трикутника визначається через довжини його сторін а, b, с за такою формулою:

.

Нехай у АВС ; |AB|=c i |AD|=|DB|. Введемо позначення: |AC|=x, 0
Оскільки

,